AP Statistics alıştırma soruları: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Ki-kare testleri

Test istatistiği: χ² = Σ(O − E)²/E
Uyum iyiliği: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Bağımsızlık: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritik değerler (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Karar: χ² > χ²_crit ise H₀’ı reddedin

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 28, 21, 42, 55, 55, 17, 10.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 50 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. 68 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 50σ = 12x = 68

z =

3.OlasılıkOrta

14 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 14k = 3

N =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 3X + 4. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,25, 0,25, 0,2Y = 3X + 4

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 82 ile 107,5 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 100σ = 15x₁ = 82x₂ = 107,5

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %70 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan70%

x = puan

7.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 30Σy = 385Σx² = 220Σy² = 30657Σxy = 2508

r =

8.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 23 tahmin eder?

n = 5ŷ = 23

x =

9.Güven aralıklarıOrta

9 birimlik bir örneklemin ortalaması 41,5 ve standart sapması s = 15,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 9x̄ = 41,5s = 15,590%t(8) = 1,86

üst sınır =

10.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 25. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 25E = 395%

n =

11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

10 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark −6,01 ve farkların standart sapması 7,6. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 10d̄ = −6,01s_d = 7,6

t =

12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,01 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 2,5 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 9. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,01güç = 90%δ = 2,5σ = 9z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

13.Ki-kare testleriOrta

Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.

N = 1802 × 3

χ² =

14.Ki-kare testleriZor

Tablo gözlenen frekansları gösteriyor. İki değişkenin bağımsız olup olmadığını α = 0,01 düzeyinde test edin (süreklilik düzeltmesi olmadan). Test istatistiği χ² değerini hesaplayın, sonra tablodaki kritik değerle karşılaştırın.

N = 2403 × 2α = 0,01

χ² =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 18,27

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 228/7 = 32,57

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−4,571)² + (−11,57)² + 9,429² + 22,43² + 22,43² + (−15,57)² + (−22,57)² = 2002

Standart sapma

s = √(2002/6) = 18,27

Cevap

s = 18,27

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 1,5

Standartlaştırın

z = (68 − 50)/12 = 1,5

Cevap

z = 1,5

3.Olasılık

Cevap: N = 364

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364

Cevap

N = 364

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 33,24

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 23,5, Var(X) = 122,8, σ_X = 11,08

Doğrusal değişim

σ_Y = |3|·11,08 = 33,24

Cevap

σ_Y = 33,24

Ortalama ise kayar: E(Y) = 3·23,5 + 4 = 74,5.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5764

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2

z₂ = (107,5 − 100)/15 = 0,5

Aradaki alan

P = Φ(0,5) − Φ(−1,2) = 0,6915 − 0,1151 = 0,5764

Cevap

P = 0,5764

6.Normal dağılım

Cevap: x = 70,2 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,7

Tablodan z

z ≈ 0,52

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 puan

Cevap

x = 70,2 puan

7.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9841

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 2508 − 30·385/5 = 198

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 30657 − 385²/5 = 1012

Korelasyon katsayısı

r = 198/√(40·1012) = 0,9841

Cevap

r = 0,9841

8.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 4,556

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 129/5 = 25,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18

Regresyon doğrusu

b = −18/10 = −1,8

a = 25,8 − (−1,8)·3 = 31,2

ŷ = 31,2 − 1,8·x

x için çözün

x = (23 − 31,2)/(−1,8) = 4,556

Cevap

x = 4,556

9.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 51,11

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Hata payı

E = 1,86·15,5/√9 = 9,61

Aralık

41,5 ± 9,61 → [31,89, 51,11]

Cevap

üst sınır = 51,11

10.Güven aralıkları

Cevap: n = 267

n'yi çözün

n = (1,96·25/3)² = 266,8

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 267

Cevap

n = 267

11.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,501

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 7,6/√10 = 2,403

Test istatistiği

t = −6,01/2,403 = −2,501

Cevap

t = −2,501

df = 9 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,262; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

12.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 169

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((2,326 + 1,282)·9/2,5)² = 168,7

Yukarı yuvarlayın

n = 169

Cevap

n = 169

13.Ki-kare testleri

Cevap: χ² = 1,895

Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.

Beklenen frekanslar

öğrenciler: 80·45/180 = 20, 80·63/180 = 28, 80·72/180 = 32

personel: 100·45/180 = 25, 100·63/180 = 35, 100·72/180 = 40

Ki-kare istatistiği

χ² = (17 − 20)²/20 + (32 − 28)²/28 + (31 − 32)²/32 + (28 − 25)²/25 + (31 − 35)²/35 + (41 − 40)²/40

χ² = 1,895

Cevap

χ² = 1,895

sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.

14.Ki-kare testleri

Cevap: χ² = 9,955

Beklenen frekanslar

18–30 yaş: 40, 60

31–50 yaş: 24, 36

51+ yaş: 32, 48

Ki-kare istatistiği

χ² = (51 − 40)²/40 + (49 − 60)²/60 + (16 − 24)²/24 + (44 − 36)²/36 + (29 − 32)²/32 + (51 − 48)²/48

χ² = 9,955

Karar

df = 2, χ²_crit = 9,210

9,955 > 9,210

Cevap

χ² = 9,955

χ² kritik değerin üzerindedir, bu yüzden H₀ reddedilir: değişkenler ilişkili görünüyor.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice