İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 13, 52, 19, 31, 13.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 75'ün üstündedir?

μ = 50σ = 20x = 75

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,35, 0,2, 0,3

Var(X) =

4.OlasılıkZor

Bir testte 6 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,1 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 6p = 0,1k = 3

P =

5.Normal dağılımOrta

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 454 ile 534 h arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 500σ = 40x₁ = 454x₂ = 534

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %97,5 olan x değerini bulun (97,5. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 97,5%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

16 birimlik bir örneklemin ortalaması 82,5 ve standart sapması s = 19. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 16x̄ = 82,5s = 1995%t(15) = 2,131

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 20 milin çaplarının örneklem standart sapması 3,8 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 19 ile χ² dağılımının %2,5’i 8,907 değerinin altında, %2,5’i 32,852 değerinin üstündedir.

n = 20s = 3,8 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

64 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 73,88, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 75x̄ = 73,88s = 10n = 64

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 5 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 20. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 90%δ = 5σ = 20z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 42Σy = 107Σx² = 364Σy² = 2319Σxy = 918

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (2, 41) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(2, 41)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,49

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 128/5 = 25,6

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−12,6)² + 26,4² + (−6,6)² + 5,4² + (−12,6)² = 1087

Standart sapma

s = √(1087/4) = 16,49

Cevap

s = 16,49

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1056

Standartlaştırın

z = 1,25

Standart normal tablo

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Cevap

P = 0,1056

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 4,51

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,15 + 2·0,35 + 4·0,2 + 6·0,3 = 3,3

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,15 + 4·0,35 + 16·0,2 + 36·0,3 = 15,4

Varyans

Var(X) = 15,4 − 3,3² = 4,51

Cevap

Var(X) = 4,51

4.Olasılık

Cevap: P = 0,01458

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 3) = 20·0,1³·0,9³ = 20·0,001·0,729 = 0,01458

Cevap

P = 0,01458

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,6773

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (454 − 500)/40 = −1,15

z₂ = (534 − 500)/40 = 0,85

Aradaki alan

P = Φ(0,85) − Φ(−1,15) = 0,8023 − 0,1251 = 0,6773

Cevap

P = 0,6773

6.Normal dağılım

Cevap: x = 84,6 puan

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

x’e geri dönüş

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 puan

Cevap

x = 84,6 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 72,38

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Hata payı

E = 2,131·19/√16 = 10,12

Aralık

82,5 ± 10,12 → [72,38, 92,62]

Cevap

alt sınır = 72,38

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 5,55 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 19·3,8² = 274,4

σ² için sınırlar

274,4/32,852 = 8,351

274,4/8,907 = 30,8

σ için sınır

σ = √30,8 = 5,55 µm

Cevap

σ = 5,55 µm

σ için %95 aralık: [2,89, 5,55] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −0,896

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Test istatistiği

t = (73,88 − 75)/1,25 = −0,896

Cevap

t = −0,896

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 138

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 1,282)·20/5)² = 137,1

Yukarı yuvarlayın

n = 138

Cevap

n = 138

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9966

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 918 − 42·107/6 = 169

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 2319 − 107²/6 = 410,8

Korelasyon katsayısı

r = 169/√(70·410,8) = 0,9966

Cevap

r = 0,9966

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 3,019

Ortalamalar

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 352/6 = 58,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 362

Regresyon doğrusu

b = 362/70 = 5,171

a = 58,67 − 5,171·6 = 27,64

ŷ = 27,64 + 5,171·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 27,64 + 5,171·2 = 37,98

Artık

e = 41 − 37,98 = 3,019

Cevap

e = 3,019

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1