Analiz 2: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Çok değişkenli analiz

Kısmi türevler: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradyan: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Yönlü türev: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
İkinci türev testi: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Yöntem

Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (f_x, f_y) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için f_x = 0 ve f_y = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = f_xx·f_yy − f_xy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.İntegrallerOrta

I = ∫₁⁶ x·ln x dx değerini hesaplayın.

∫₁⁶ x ln x dx

I =

2.İntegrallerZor

y = 2x² ve y = x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 2x²y = x

A =

3.Diziler ve serilerOrta

Σ_k=1^∞ (x + 1)ᵏ/(k²·(1/2)ᵏ) kuvvet serisi x₀ = −1 çevresindeki bir aralıkta yakınsar. Bu aralığın sol ucunu, x, bulun.

Σ (x + 1)ᵏ/(k²·(1/2)ᵏ)x₀ = −1

x =

4.Diziler ve serilerZor

f(x) = eˣ, x = 0,5 noktasında 4. dereceden Maclaurin polinomuyla yaklaşıklanıyor. Mümkün olan en büyük hatayı, |R₄|, bulmak için M = e^0,5 = 1,649 ile Lagrange hata sınırını M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! kullanın.

f(x) = eˣn = 4x = 0,5M = 1,649

|R₄| =

5.Çok değişkenli analizOrta

f(x, y) = −3x²y³ − 2x² − 3y³ − 2xy için (3, 1) noktasında v = (2, −4) yönündeki yönlü türevi, D_uf, bulun.

f(x, y) = −3x²y³ − 2x² − 3y³ − 2xyP = (3, 1)v = (2, −4)

D_uf =

6.Çok değişkenli analizZor

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 6y fonksiyonunun kritik noktalarını bulun, sınıflandırın ve yerel minimumundaki f değerini, f_min, verin.

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 6y

f_min =

7.Diferansiyel denklemlerOrta

y″ + 6y′ + 9y = 0 denklemini y(0) = 5 ve y′(0) = -1 ile çözün. y(1,5) değerini bulun.

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = -1

y(1.5) =

8.Diferansiyel denklemlerZor

Bir sistem t ≥ 0 için y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25 denklemine uyuyor ve durgun halden başlıyor: y(0) = 0, y′(0) = 0. y(0,5) değerini bulun; açılar radyan cinsinden.

y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.5) =

3Çözeltiler

1.İntegraller

Cevap: I = 23,5

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

u ve dv’yi seçin

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

İlkel fonksiyon

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limitler

(18·ln 6 − 9) − (0 − 0,25) = 23,5

Cevap

I = 23,5

2.İntegraller

Cevap: A = 0,04167

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Kesişim noktaları

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Üst eksi alt integrali alın

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Cevap

A = 0,04167

3.Diziler ve seriler

Cevap: x = −1,5

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Katsayılar

c_k/c_k+1 = (1/2)·((k + 1)/k)² → 0,5

Yarıçap

R = 0,5

Aralık

−1,5 < x < −0,5

x = −1,5

Cevap

x = −1,5

Oran testi iki uç noktada bir şey söylemez; bunlar ayrıca denetlenmelidir.

4.Diziler ve seriler

Cevap: |R₄| = 0,0004294

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Türev üzerindeki sınır

M = e^0,5 = 1,649

Lagrange sınırı

|R₄| ≤ 1,649·0,5⁵/5! = 0,0004294

Cevap

|R₄| = 0,0004294

Gerçek hata daha küçüktür: |f(0,5) − P₄(0,5)| = 0,0002838.

5.Çok değişkenli analiz

Cevap: D_uf = 71,55

Gradyan: ∇f = (f_x, f_y) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle D_uf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Noktadaki gradyan

f_x = −6xy³ − 4x − 2y → f_x(3, 1) = −32

f_y = −9x²y² − 9y² − 2x → f_y(3, 1) = −96

Birim vektör

|v| = √(2² + (−4)²) = 4,472

u = (0,4472, −0,8944)

Skaler çarpım

D_uf = (−32)·0,4472 + (−96)·(−0,8944) = 71,55

Cevap

D_uf = 71,55

6.Çok değişkenli analiz

Cevap: f_min = −25

Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada f_x = f_y = 0’dır. D = f_xxf_yy − f_xy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve f_xx > 0 yerel minimum, D > 0 ve f_xx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).

Kritik noktalar

f_x = 0 ve f_y = 0 denklemlerini birlikte çözün.

f_x = (3x² − 12) = 0

f_y = (2y + 6) = 0

(2, −3), (−2, −3)

İkinci türev testi

(2, −3): f_xx = 12, f_yy = 2, f_xy = 0, D = 24 → yerel minimum

(−2, −3): f_xx = −12, f_yy = 2, f_xy = 0, D = −24 → eyer noktası

Ekstremumdaki değer

f(2, −3) = −25

Cevap

f_min = −25

7.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(1.5) = 0,2888

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Çift kök

(r + 3)² = 0 → r = −3

Sabitler

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 3A → B = -1 + 15 = 14

Hesaplayın

y(1,5) = (5 + 14·1,5)·e^−4,5 = 0,2888

Cevap

y(1,5) = 0,2888

8.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(0.5) = 5,178

Sürekli değer ve kökler

y_ss = 5, r = −1,5 ± 4j

Başlangıç değerlerinden sabitler

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1,5A + 4B = 0 → B = −1,875

Hesaplayın

y(0,5) = 5·(1 − e^−0,75(cos 2 + 0,375·sin 2)) = 5,178

Cevap

y(0,5) = 5,178

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2