Analiz 2: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Çok değişkenli analiz

Kısmi türevler: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradyan: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Yönlü türev: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
İkinci türev testi: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Yöntem

Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (f_x, f_y) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için f_x = 0 ve f_y = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = f_xx·f_yy − f_xy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.İntegrallerOrta

y = √(2x) eğrisinin altında, x = 0’dan x = 2’e kadar olan bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin (bir paraboloit) hacmini V bulun.

y = √(2x)0 ≤ x ≤ 2

V =

2.İntegrallerZor

y = 4 − x² parabolü ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 4 − x²

A =

3.Diziler ve serilerOrta

S = Σ_k=1^∞ 5/(k(k + 4)) toplamını bulun.

a_k = 5/(k(k + 4))

S =

4.Diziler ve serilerZor

f(x) = √x fonksiyonunun a = 16 civarındaki Taylor serisinde (x − 16)² teriminin katsayısını, c₂, bulun.

f(x) = √xa = 16k = 2

c₂ =

5.Çok değişkenli analizOrta

f(1,8, 0,8) değerini yaklaşık olarak bulmak için f(x, y) = −2x³y² + x³ − 5y² − xy fonksiyonunun (2, 1) noktasındaki teğet düzlemini kullanın. Doğrusal yaklaşımı, L, verin.

f(x, y) = −2x³y² + x³ − 5y² − xy(a, b) = (2, 1)(x, y) = (1,8, 0,8)

L =

6.Çok değişkenli analizZor

İşaretli noktalar f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy fonksiyonunun kritik noktalarıdır. Eyer noktasına tıklayın.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy

1A (1, 1)
2B (0, 0)
3C (−1, −1)

7.Diferansiyel denklemlerOrta

6 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 22 °C’deki bir odaya alınıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,09 min⁻¹ ile 29 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.

T₀ = 6 °CT_a = 22 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 29 min

T = °C

8.Diferansiyel denklemlerZor

Bir tankta, içinde 5 kg tuz çözünmüş 500 L su var. Litre başına 0,1 kg tuz içeren tuzlu su 20 L/min debiyle giriyor ve iyi karışmış çözelti aynı debiyle çıkıyor. 30 dakika sonra tankta ne kadar tuz m vardır?

V = 500 Lm₀ = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

3Çözeltiler

1.İntegraller

Cevap: V = 12,57

Dönel cisim hacimleri: y = f(x) eğrisi altındaki x = a’dan x = b’ye bölgeyi x ekseni etrafında döndürmek, x’teki kesiti f(x) yarıçaplı bir disk olan bir cisim oluşturur. Diskleri toplamak V = π∫ₐᵇ f(x)² dx verir. Bölge bir dış R(x) eğrisi ile bir iç r(x) eğrisi arasında olduğunda her dilim bir rondeladır: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Yarıçapların karesini çıkarmadan önce alın.

Disk yöntemi

V = π∫₀² 2x dx

İntegral alın

V = π·2·2²/2 = 12,57

Cevap

V = 12,57

2.İntegraller

Cevap: A = 10,67

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Sıfırlar

4 − x² = 0 → x = ±2

İntegral alın

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Cevap

A = 10,67

3.Diziler ve seriler

Cevap: S = 2,604

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Kısmi kesirler

5/(k(k + 4)) = (5/4)·(1/k − 1/(k + 4))

İptal

S = (5/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 2,604

Cevap

S = 2,604

4.Diziler ve seriler

Cevap: c₂ = −0,001953

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Türev f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −0,25·x^{1/2 − 2}

Katsayı

c₂ = −0,25·16^{1/2 − 2}/2! = −0,001953

c₂ = −0,001953

Cevap

c₂ = −0,001953

5.Çok değişkenli analiz

Cevap: L = −3,6

Gradyan: ∇f = (f_x, f_y) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle D_uf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Noktadaki değer ve eğimler

f(2, 1) = −15

f_x = −6x²y² + 3x² − y → f_x(2, 1) = −13

f_y = −4x³y − 10y − x → f_y(2, 1) = −44

Teğet düzlem

z = −15 − 13(x − 2) − 44(y − 1)

z = −13x − 44y + 55

Doğrusal yaklaşım

L = −15 + (−13)·(−0,2) + (−44)·(−0,2) = −3,6

Cevap

L = −3,6

Tam değer f = −6,27296’dır; adım küçük olduğu için düzlem ona yakındır.

6.Çok değişkenli analiz

Cevap: B (0, 0)

Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada f_x = f_y = 0’dır. D = f_xxf_yy − f_xy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve f_xx > 0 yerel minimum, D > 0 ve f_xx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).

Kritik noktalar

f_x = 0 ve f_y = 0 denklemlerini birlikte çözün.

f_x = 4x³ − 4y = 0

f_y = 4y³ − 4x = 0

(0, 0), (1, 1), (−1, −1)

İkinci türev testi

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −4, D = −16 → eyer noktası

(1, 1): f_xx = 12, f_yy = 12, f_xy = −4, D = 128 → yerel minimum

(−1, −1): f_xx = 12, f_yy = 12, f_xy = −4, D = 128 → yerel minimum

Nokta

B (0, 0): eyer noktası

Cevap

B (0, 0)

7.Diferansiyel denklemler

Cevap: T = 20,82 °C

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma yasasının çözümü

T(t) = 22 + (−16)·e^−0,09t

t’yi yerine koyun

T(29) = 22 + (−16)·0,07353 = 20,82 °C

Cevap

T = 20,82 °C

8.Diferansiyel denklemler

Cevap: m = 36,45 kg

Denklemi kurun

dm/dt = 20·0,1 − (20/500)·m = 2 − 0,04·m

Çözün

İntegrasyon çarpanı e^rt/V’dir; çözüm c·V denge değerine yaklaşır.

m(t) = 50 + (−45)·e^−t/25

t’yi yerine koyun

m(30) = 50 + (−45)·0,3012 = 36,45 kg

Cevap

m = 36,45 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2