Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
İntegraller
Kuvvet kuralı
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan
∫ab (f − g) dx
Yöntem
Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.
Diziler ve seriler
Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Yöntem
Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.
Çok değişkenli analiz
Kısmi türevler
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradyan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Yönlü türev
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Zincir kuralı
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
İkinci türev testi
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Yöntem
Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (fx, fy) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için fx = 0 ve fy = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = fxx·fyy − fxy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.
Diferansiyel denklemler
Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Alıştırma soruları
1.İntegrallerOrta
I = ∫02 2x·(x² + 1)2 dx'i hesaplayın.
f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 2]
I =
2.İntegrallerZor
y = 0,5x2 ve y = 2x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.
y = 0,5x2y = 2x
A =
3.Diziler ve serilerOrta
Dört serinin tam biri yakınsar. Ona tıklayın.
A: Σ 2ᵏ/k²B: Σ 1/√kC: Σ (1 + 1/k)ᵏD: Σ (1/3)ᵏ
1A: Σ 2ᵏ/k²
2B: Σ 1/√k
3C: Σ (1 + 1/k)ᵏ
4D: Σ (1/3)ᵏ
4.Diziler ve serilerZor
Seriyi tanıyın ve toplamını bulun: S = Σk=0∞ (−1)ᵏ·1,22k/(2k)!.
ak = (−1)ᵏ·1,22k/(2k)!
S =
5.Çok değişkenli analizOrta
f(2,9, 2,8) değerini yaklaşık olarak bulmak için f(x, y) = x²y³ + 2x² − 5y² − 2xy fonksiyonunun (3, 3) noktasındaki teğet düzlemini kullanın. Doğrusal yaklaşımı, L, verin.
5 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 29 °C’deki bir odaya alınıyor. 24 dakika sonra sıcaklığı 20 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sabit k değerini min⁻¹ cinsinden bulun.
T0 = 5 °CTa = 29 °CT(24) = 20 °C
k = min⁻¹
8.Diferansiyel denklemlerZor
Bir sistem t ≥ 0 için y″ + y′ + 25,25y = 25,25 denklemine uyuyor ve durgun halden başlıyor: y(0) = 0, y′(0) = 0. Basamak tepkisinin tepe değerini ymax bulun.
y″ + y′ + 25,25y = 25,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3Çözeltiler
1.İntegraller
Cevap: I = 41,33
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Değişken değiştirme
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u2 du
İntegral alın ve sınırları koyun
I = [u3/3]15 = (125 − 1)/3 = 41,33
Cevap
I = 41,33
2.İntegraller
Cevap: A = 5,333
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Kesişim noktaları
0,5x2 = 2x → x = 0, x = 4
Üst eksi alt integrali alın
A = [x2 − 0,1667x3]04 = 5,333
Cevap
A = 5,333
3.Diziler ve seriler
Cevap: D: Σ (1/3)ᵏ
Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.
Her seriyi sınayın
A: Σ 2ᵏ/k² → Oran testi: L = 2 > 1, ıraksar.
B: Σ 1/√k → p = 1/2 ≤ 1 olan p-serisi: ıraksar.
C: Σ (1 + 1/k)ᵏ → Terimler 0’a değil e’ye gider: n. terim testiyle ıraksar.
D: Σ (1/3)ᵏ → r = 1/3 olan geometrik seri, |r| < 1: yakınsar.
Cevap
D: Σ (1/3)ᵏ
Cevap
D: Σ (1/3)ᵏ
4.Diziler ve seriler
Cevap: S = 0,3624
Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.
Standart seriler
Σ (−1)ᵏx2k/(2k)! = cos x
Yerine koyun
x = 1,2
S = cos 1,2 = 0,3624
Cevap
S = 0,3624
5.Çok değişkenli analiz
Cevap: L = 139,8
Gradyan: ∇f = (fx, fy) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle Duf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Noktadaki değer ve eğimler
f(3, 3) = 198
fx = 2xy³ + 4x − 2y → fx(3, 3) = 168
fy = 3x²y² − 10y − 2x → fy(3, 3) = 207
Teğet düzlem
z = 198 + 168(x − 3) + 207(y − 3)
z = 168x + 207y − 927
Doğrusal yaklaşım
L = 198 + 168·(−0,1) + 207·(−0,2) = 139,8
Cevap
L = 139,8
Tam değer f = 145,99632’dır; adım küçük olduğu için düzlem ona yakındır.
6.Çok değişkenli analiz
Cevap: B (0, 0)
Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada fx = fy = 0’dır. D = fxxfyy − fxy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve fxx > 0 yerel minimum, D > 0 ve fxx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).
Kritik noktalar
fx = 0 ve fy = 0 denklemlerini birlikte çözün.
fx = 3x² − 9y = 0
fy = 3y² − 9x = 0
(0, 0), (3, 3)
İkinci türev testi
(0, 0): fxx = 0, fyy = 0, fxy = −9, D = −81 → eyer noktası
(3, 3): fxx = 18, fyy = 18, fxy = −9, D = 243 → yerel minimum
Nokta
B (0, 0): eyer noktası
Cevap
B (0, 0)
7.Diferansiyel denklemler
Cevap: k = 0,04087 min⁻¹
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Sıcaklık farklarının oranı
e−24k = -9/-24
k için çözün
k = ln(-24/-9)/24 = 0,04087 min⁻¹
Cevap
k = 0,04087 min⁻¹
8.Diferansiyel denklemler
Cevap: ymax = 1,73
İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.