Analiz 2: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Çok değişkenli analiz

Kısmi türevler: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradyan: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Yönlü türev: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
İkinci türev testi: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Yöntem

Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (f_x, f_y) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için f_x = 0 ve f_y = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = f_xx·f_yy − f_xy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.İntegrallerOrta

I = ∫₂¹⁰ 3/x dx'i hesaplayın.

f(x) = 3/x[2, 10]

I =

2.İntegrallerZor

y = 0,5x² ve y = x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 0,5x²y = x

A =

3.Diziler ve serilerOrta

Σ_k=1^∞ k·5ᵏ·(x − 3)ᵏ kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını, R, bulun.

Σ k·5ᵏ·(x − 3)ᵏx₀ = 3

R =

4.Diziler ve serilerZor

f(x) = eˣ, x = −0,5 noktasında 5. dereceden Maclaurin polinomuyla yaklaşıklanıyor. Mümkün olan en büyük hatayı, |R₅|, bulmak için M = 1 ile Lagrange hata sınırını M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! kullanın.

f(x) = eˣn = 5x = −0,5M = 1

|R₅| =

5.Çok değişkenli analizOrta

f(x, y) = 3y·e^2xy için (2, 1) noktasında v = (1, 3) yönündeki yönlü türevi, D_uf, bulun.

f(x, y) = 3y·e^2xyP = (2, 1)v = (1, 3)

D_uf =

6.Çok değişkenli analizZor

R, y = x² parabolü ile y = 2x doğrusu arasındaki bölge olmak üzere I = ∬_R x dA integralini hesaplayın.

y = x²y = 2xf = x

I =

7.Diferansiyel denklemlerOrta

340 °C’deki dövme çelik bir parça 30 °C’deki bir atölyede soğumaya bırakılıyor. 13 dakika sonra sıcaklığı 214 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sabit k değerini min⁻¹ cinsinden bulun.

T₀ = 340 °CT_a = 30 °CT(13) = 214 °C

k = min⁻¹

8.Diferansiyel denklemlerZor

y(0) = 2 koşuluyla y′ + 0,5y = 8e^−t denklemini çözün. y(2) değerini bulun.

y′ + 0,5y = 8e^−ty(0) = 2

y(2) =

3Çözeltiler

1.İntegraller

Cevap: I = 4,828

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

İlkel fonksiyon

F(x) = 3·ln x

Sınırları yerine koyun

I = 3·(ln 10 − ln 2) = 3·ln 5 = 4,828

Cevap

I = 4,828

2.İntegraller

Cevap: A = 0,6667

Kesişim noktaları

0,5x² = x → x = 0, x = 2

Üst eksi alt integrali alın

A = [0,5x² − 0,1667x³]₀² = 0,6667

Cevap

A = 0,6667

3.Diziler ve seriler

Cevap: R = 0,2

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Katsayılar

c_k/c_k+1 = (1/5)·(k/(k + 1)) → 1/5

Yarıçap

R = 0,2

Cevap

R = 0,2

Oran testi iki uç noktada bir şey söylemez; bunlar ayrıca denetlenmelidir.

4.Diziler ve seriler

Cevap: |R₅| = 2,17 × 10⁻⁵

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Türev üzerindeki sınır

M = 1

Lagrange sınırı

|R₅| ≤ 1·0,5⁶/6! = 2,17 × 10⁻⁵

Cevap

|R₅| = 2,17 × 10⁻⁵

Gerçek hata daha küçüktür: |f(−0,5) − P₅(−0,5)| = 2,024 × 10⁻⁵.

5.Çok değişkenli analiz

Cevap: D_uf = 880,5

Gradyan: ∇f = (f_x, f_y) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle D_uf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Noktadaki gradyan

f_x = 6y²e^2xy → f_x(2, 1) = 327,6

f_y = 3e^2xy(1 + 2xy) → f_y(2, 1) = 819

Birim vektör

|v| = √(1² + 3²) = 3,162

u = (0,3162, 0,9487)

Skaler çarpım

D_uf = 327,6·0,3162 + 819·0,9487 = 880,5

Cevap

D_uf = 880,5

6.Çok değişkenli analiz

Cevap: I = 1,333

Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada f_x = f_y = 0’dır. D = f_xxf_yy − f_xy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve f_xx > 0 yerel minimum, D > 0 ve f_xx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).

Kesişim noktaları

x² = 2x → x = 0, x = 2

İç integral

∫_x²^2x x dy = x(2x − x²) = 2x² − x³

Dış integral

I = ∫₀² (2x² − x³) dx = 1,333

Cevap

I = 1,333

7.Diferansiyel denklemler

Cevap: k = 0,04013 min⁻¹

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Sıcaklık farklarının oranı

e^−13k = 184/310

k için çözün

k = ln(310/184)/13 = 0,04013 min⁻¹

Cevap

k = 0,04013 min⁻¹

8.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(2) = 4,456

İntegrasyon çarpanı

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 8e^−0,5t

Genel çözüm

y = 8/(−0,5)·e^−t + C·e^−0,5t = −16·e^−t + C·e^−0,5t

Başlangıç koşulu

2 = −16 + C → C = 18

Hesaplayın

y(2) = −16·0,1353 + 18·0,3679 = 4,456

Cevap

y(2) = 4,456

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2