Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

4 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 22 °C’deki bir odaya alınıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,07 min⁻¹ ile 9 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.

T₀ = 4 °CT_a = 22 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 9 min

T = °C

2.Diferansiyel denklemlerZor

y(0) = 5 koşuluyla y′ + 2y = 9e^−0,5t denklemini çözün. y(2) değerini bulun.

y′ + 2y = 9e^−0,5ty(0) = 5

y(2) =

3.İntegrallerOrta

y = 3x eğrisinin altında, x = 0’dan x = 3’e kadar olan bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin (bir koni) hacmini V bulun.

y = 3x0 ≤ x ≤ 3

V =

4.İntegrallerZor

y = 0,5x² ve y = 4x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 0,5x²y = 4x

A =

5.TürevlerOrta

f(x) = (2x − 1)³ olsun. f′(−1)'yi bulun.

f(x) = (2x − 1)³x = −1

f′(−1) =

6.TürevlerZor

f(x) = x³ + 7,5x² + 18x − 1 olsun. Yerel maksimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ + 7,5x² + 18x − 1

x =

7.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀³ sin x dx integralini n = 4 ile yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın ve tam değerle karşılaştırın. Mutlak hatayı, |E| = |T − I|, bulun.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 3]n = 4

|E| =

8.Sayısal yöntemlerZor

y₃ ≈ y(0,6) değerini tahmin etmek için y′ = cos t − y, y(0) = 2 üzerinde h = 0,2 ile Heun yöntemini (geliştirilmiş Euler) kullanın.

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,2

y₃ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: T = 12,41 °C

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma yasasının çözümü

T(t) = 22 + (−18)·e^−0,07t

t’yi yerine koyun

T(9) = 22 + (−18)·0,5326 = 12,41 °C

Cevap

T = 12,41 °C

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(2) = 2,189

İntegrasyon çarpanı

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 9e^1,5t

Genel çözüm

y = 9/1,5·e^−0,5t + C·e^−2t = 6·e^−0,5t + C·e^−2t

Başlangıç koşulu

5 = 6 + C → C = −1

Hesaplayın

y(2) = 6·0,3679 + (−1)·0,01832 = 2,189

Cevap

y(2) = 2,189

3.İntegraller

Cevap: V = 254,5

Dönel cisim hacimleri: y = f(x) eğrisi altındaki x = a’dan x = b’ye bölgeyi x ekseni etrafında döndürmek, x’teki kesiti f(x) yarıçaplı bir disk olan bir cisim oluşturur. Diskleri toplamak V = π∫ₐᵇ f(x)² dx verir. Bölge bir dış R(x) eğrisi ile bir iç r(x) eğrisi arasında olduğunda her dilim bir rondeladır: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Yarıçapların karesini çıkarmadan önce alın.

Disk yöntemi

V = π∫₀³ 9x² dx

İntegral alın

V = π·9·3³/3 = 254,5

Cevap

V = 254,5

Kontrol: yarıçapı 9, yüksekliği 3 olan bir koninin hacmi (1/3)πr²h = 254,5.

4.İntegraller

Cevap: A = 42,67

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Kesişim noktaları

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

Üst eksi alt integrali alın

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

Cevap

A = 42,67

5.Türevler

Cevap: f′(−1) = 54

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Zincir kuralı

f′(x) = 3·(2x − 1)²·2

Yerine koyun

f′(−1) = 3·(−3)²·2 = 54

Cevap

f′(−1) = 54

6.Türevler

Cevap: x = −3

Türev

f′(x) = 3x² + 15x + 18 = 3·(x² + 5x + 6)

f′(x) = 0'ı çözün

x = −3 veya x = −2

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x + 15: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(−3) = −3, f″(−2) = 3

x = −3

Cevap

x = −3

7.Sayısal yöntemler

Cevap: |E| = 0,09417

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Tam değer

I = 1,989992

Yamuk kuralı

T = (0,75/2)·(0 + 2·0,681639 + 2·0,997495 + 2·0,778073 + 0,14112) = 1,895825

Hata

|E| = |1,895825 − 1,989992| = 0,09417

Cevap

|E| = 0,09417

Bağıl hata: %4,732.

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₃ = 1,518

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Heun adımları

y₁ = 2 + (0,2/2)(−1 − 0,819933) = 1,818007

y₂ = 1,818007 + (0,2/2)(−0,83794 − 0,729358) = 1,661277

y₃ = 1,661277 + (0,2/2)(−0,740216 − 0,687898) = 1,518465

Grafik

y₃ = 1,518

Cevap

y₃ = 1,518

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations