Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

y″ + 4y′ + 4y = 0 denklemini y(0) = 3 ve y′(0) = -1 ile çözün. y(1,5) değerini bulun.

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = -1

y(1.5) =

2.Diferansiyel denklemlerZor

Bir sistem t ≥ 0 için y″ + 4y′ + 29y = 290 denklemine uyuyor ve durgun halden başlıyor: y(0) = 0, y′(0) = 0. y(0,5) değerini bulun; açılar radyan cinsinden.

y″ + 4y′ + 29y = 290y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.5) =

3.İntegrallerOrta

I = ∫₀¹ e^−x dx'i hesaplayın.

f(x) = e^−x[0, 1]

I =

4.İntegrallerZor

I = ∫₀² x²·eˣ dx değerini hesaplayın.

∫₀² x²eˣ dx

I =

5.TürevlerOrta

f(x) = x²·e^x olsun. f′(2)'yi bulun.

f(x) = x²·e^xx = 2

f′(2) =

6.TürevlerZor

f(x) = −x² − 5x + 3 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.

f(x) = −x² − 5x + 3x = 1

b =

7.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀¹ sin x dx integralini n = 2 ile yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın ve tam değerle karşılaştırın. Mutlak hatayı, |E| = |T − I|, bulun.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

8.Sayısal yöntemlerZor

y₅ ≈ y(0,5) değerini tahmin etmek için y′ = t − y, y(0) = −1 üzerinde h = 0,1 ile Euler yöntemini kullanın.

y′ = t − yy(0) = −1h = 0,1

y₅ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(1.5) = 0,5228

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Çift kök

(r + 2)² = 0 → r = −2

Sabitler

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 2A → B = -1 + 6 = 5

Hesaplayın

y(1,5) = (3 + 5·1,5)·e⁻³ = 0,5228

Cevap

y(1,5) = 0,5228

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(0.5) = 12,07

Sürekli değer ve kökler

y_ss = 10, r = −2 ± 5j

Başlangıç değerlerinden sabitler

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −2A + 5B = 0 → B = −4

Hesaplayın

y(0,5) = 10·(1 − e⁻¹(cos 2,5 + 0,4·sin 2,5)) = 12,07

Cevap

y(0,5) = 12,07

3.İntegraller

Cevap: I = 0,6321

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

İlkel fonksiyon

F(x) = e^−x/(−1)

Sınırları yerine koyun

I = (e⁻¹ − 1)/(−1) = (0,3679 − 1)/(−1) = 0,6321

Cevap

I = 0,6321

4.İntegraller

Cevap: I = 12,78

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

Birinci tur

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

İkinci tur

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limitler

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

Cevap

I = 12,78

5.Türevler

Cevap: f′(2) = 59,11

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Çarpım kuralı

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(2x + 1·x²)

Yerine koyun

f′(2) = 7,389·(4 + 4) = 59,11

Cevap

f′(2) = 59,11

6.Türevler

Cevap: b = 4

Nokta ve eğim

f(1) = −3

f′(x) = −2x − 5 → f′(1) = −7

x = 0'da teğet

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − (−7)·1 = 4

Cevap

b = 4

7.Sayısal yöntemler

Cevap: |E| = 0,009617

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Tam değer

I = 0,459698

Yamuk kuralı

T = (0,5/2)·(0 + 2·0,479426 + 0,841471) = 0,450081

Hata

|E| = |0,450081 − 0,459698| = 0,009617

Cevap

|E| = 0,009617

Bağıl hata: %2,092.

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₅ = −0,5

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Euler adımları

y₁ = −1 + 0,1·(1) = −0,9

y₂ = −0,9 + 0,1·(1) = −0,8

y₃ = −0,8 + 0,1·(1) = −0,7

y₄ = −0,7 + 0,1·(1) = −0,6

y₅ = −0,6 + 0,1·(1) = −0,5

Grafik

y₅ = −0,5

Cevap

y₅ = −0,5

Tam değer y(0,5) = −0,5’dir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations