Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

y″ + 7y′ + 12y = 0 denklemini y(0) = 5 ve y′(0) = 0 ile çözün. y(0,5) değerini bulun.

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(0.5) =

2.Diferansiyel denklemlerZor

Bir tankta, içinde 5 kg tuz çözünmüş 1000 L su var. Litre başına 0,25 kg tuz içeren tuzlu su 2 L/min debiyle giriyor ve iyi karışmış çözelti aynı debiyle çıkıyor. 65 dakika sonra tankta ne kadar tuz m vardır?

V = 1000 Lm₀ = 5 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min

m = kg

3.İntegrallerOrta

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx'i hesaplayın.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

4.İntegrallerZor

y = 2x² ve y = 2x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 2x²y = 2x

A =

5.TürevlerOrta

f(x) = ln(2x² + 5) olsun. f′(2)'i bulun.

f(x) = ln(2x² + 5)x = 2

f′(2) =

6.TürevlerZor

f(x) = −x² + 2x + 5 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.

f(x) = −x² + 2x + 5x = 2

b =

7.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀² x³ dx integralini n = 2 ile yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın ve tam değerle karşılaştırın. Mutlak hatayı, |E| = |T − I|, bulun.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

8.Sayısal yöntemlerZor

y₃ ≈ y(0,75) değerini tahmin etmek için y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 üzerinde h = 0,25 ile Euler yöntemini kullanın.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,25

y₃ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(0.5) = 2,433

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Karakteristik kökler

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Başlangıç değerlerinden sabitler

A + B = 5, −3A − 4B = 0

A = 20, B = −15

Hesaplayın

y(0,5) = 20·e^−1,5 + (−15)·e⁻² = 2,433

Cevap

y(0,5) = 2,433

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: m = 34,87 kg

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Denklemi kurun

dm/dt = 2·0,25 − (2/1000)·m = 0,5 − 0,002·m

Çözün

İntegrasyon çarpanı e^rt/V’dir; çözüm c·V denge değerine yaklaşır.

m(t) = 250 + (−245)·e^−t/500

t’yi yerine koyun

m(65) = 250 + (−245)·0,8781 = 34,87 kg

Cevap

m = 34,87 kg

3.İntegraller

Cevap: I = 1,5

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Değişken değiştirme

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

İntegral alın ve sınırları koyun

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1,5

Cevap

I = 1,5

4.İntegraller

Cevap: A = 0,3333

Kesişim noktaları

2x² = 2x → x = 0, x = 1

Üst eksi alt integrali alın

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

Cevap

A = 0,3333

5.Türevler

Cevap: f′(2) = 0,6154

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Logaritma için zincir kuralı

f′(x) = 4x/(2x² + 5)

Yerine koyun

f′(2) = 8/13 = 0,6154

Cevap

f′(2) = 0,6154

6.Türevler

Cevap: b = 9

Nokta ve eğim

f(2) = 5

f′(x) = −2x + 2 → f′(2) = −2

x = 0'da teğet

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − (−2)·2 = 9

Cevap

b = 9

7.Sayısal yöntemler

Cevap: |E| = 1

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Tam değer

I = 4

Yamuk kuralı

T = (1/2)·(0 + 2·1 + 8) = 5

Hata

|E| = |5 − 4| = 1

Cevap

|E| = 1

Bağıl hata: %25.

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₃ = 1,161

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Euler adımları

y₁ = 0,5 + 0,25·(0,75) = 0,6875

y₂ = 0,6875 + 0,25·(0,902344) = 0,913086

y₃ = 0,913086 + 0,25·(0,992446) = 1,161197

Grafik

y₃ = 1,161

Cevap

y₃ = 1,161

Tam değer y(0,75) = 1,198042’dir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations