Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

87 °C’deki bir fincan kahve 22 °C’deki bir odada bırakılıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,07 min⁻¹ ile 13 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.

T₀ = 87 °CT_a = 22 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 13 min

T = °C

2.Diferansiyel denklemlerZor

x > 0 için y(1) = 3 koşuluyla y′ + 2y/x = 3 başlangıç değer problemini çözün. y(2) değerini bulun.

y′ + 2y/x = 3y(1) = 3

y(2) =

3.İntegrallerOrta

I = ∫₀² x·sin x dx değerini hesaplayın (x radyan cinsinden).

∫₀² x·sin x dx

I =

4.İntegrallerZor

y = 6x doğrusu ile y = 3x² parabolü arasındaki bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin hacmini V bulun.

y = 6xy = 3x²

V =

5.TürevlerOrta

f(x) = x·sin(2x) olsun, x radyan cinsinden. f′(0,5)'i bulun.

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

6.TürevlerZor

f(x) = x³ + 3x² − 9x − 6 olsun. Yerel maksimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ + 3x² − 9x − 6

x =

7.Sayısal yöntemlerOrta

Yamuk kuralı ∫₀¹ x³ dx için kullanılıyor. Hata en çok (b − a)³·M/(12n²)’dir; M = [0, 1] üzerinde max|f″|. Hatanın 1 × 10⁻⁵ değerinin altında olmasını garanti eden en küçük şerit sayısını, n, bulun.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

8.Sayısal yöntemlerZor

y₅ ≈ y(2,5) değerini tahmin etmek için y′ = y − t², y(0) = 0,5 üzerinde h = 0,5 ile Euler yöntemini kullanın.

y′ = y − t²y(0) = 0,5h = 0,5

y₅ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: T = 48,16 °C

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma yasasının çözümü

T(t) = 22 + 65·e^−0,07t

t’yi yerine koyun

T(13) = 22 + 65·0,4025 = 48,16 °C

Cevap

T = 48,16 °C

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(2) = 2,5

İntegrasyon çarpanı

μ = e^{∫2/x dx} = x²

İntegral alın

(x²y)′ = 3x² → x²y = 3x³/3 + C

Başlangıç koşulu

3 = 3/3 + C → C = 2

Hesaplayın

y(2) = (3·2³/3 + 2)/2² = 2,5

Cevap

y(2) = 2,5

3.İntegraller

Cevap: I = 1,742

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

u ve dv’yi seçin

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

İlkel fonksiyon

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Limitler

(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1,742

Cevap

I = 1,742

4.İntegraller

Cevap: V = 120,6

Dönel cisim hacimleri: y = f(x) eğrisi altındaki x = a’dan x = b’ye bölgeyi x ekseni etrafında döndürmek, x’teki kesiti f(x) yarıçaplı bir disk olan bir cisim oluşturur. Diskleri toplamak V = π∫ₐᵇ f(x)² dx verir. Bölge bir dış R(x) eğrisi ile bir iç r(x) eğrisi arasında olduğunda her dilim bir rondeladır: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Yarıçapların karesini çıkarmadan önce alın.

Kesişim noktaları

6x = 3x² → x = 0, x = 2

Rondela (pul) yöntemi

V = π∫₀² ((6x)² − (3x²)²) dx

İntegral alın

V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38,4 = 120,6

Cevap

V = 120,6

5.Türevler

Cevap: f′(0.5) = 1,382

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Çarpım ve zincir kuralı

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Yerine koyun

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Cevap

f′(0,5) = 1,382

6.Türevler

Cevap: x = −3

Türev

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3·(x² + 2x − 3)

f′(x) = 0'ı çözün

x = −3 veya x = 1

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x + 6: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12

x = −3

Cevap

x = −3

7.Sayısal yöntemler

Cevap: n = 224

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

İkinci türev sınırı

M = 6·1 = 6

n'yi çözün

n² > 1·6/(12·1 × 10⁻⁵) = 50000

n > 223,6 → n = 224

Cevap

n = 224

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₅ = −1,438

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Euler adımları

y₁ = 0,5 + 0,5·(0,5) = 0,75

y₂ = 0,75 + 0,5·(0,5) = 1

y₃ = 1 + 0,5·(0) = 1

y₄ = 1 + 0,5·(−1,25) = 0,375

y₅ = 0,375 + 0,5·(−3,625) = −1,4375

Grafik

y₅ = −1,438

Cevap

y₅ = −1,438

Tam değer y(2,5) = −5,023741’dir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations