Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

90 °C’deki bir fincan kahve 19 °C’deki bir odada bırakılıyor. 28 dakika sonra sıcaklığı 37 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Başlangıçtan ne kadar süre sonra, t, 30 °C’ye ulaşır?

T₀ = 90 °CT_a = 19 °CT(28) = 37 °CT = 30 °C

t = min

2.Diferansiyel denklemlerZor

y(0) = 0 koşuluyla y′ + 3y = 7e^−t denklemini çözün. y(0,5) değerini bulun.

y′ + 3y = 7e^−ty(0) = 0

y(0.5) =

3.İntegrallerOrta

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx'i hesaplayın.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

4.İntegrallerZor

y = 6x doğrusu ile y = 3x² parabolü arasındaki bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin hacmini V bulun.

y = 6xy = 3x²

V =

5.TürevlerOrta

f(x) = (−2x + 3)³ olsun. f′(0)'yi bulun.

f(x) = (−2x + 3)³x = 0

f′(0) =

6.TürevlerZor

f(x) = 3x² − 2x − 3 fonksiyonunun x = −1 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.

f(x) = 3x² − 2x − 3x = −1

b =

7.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀¹ 1/√(1 + x⁴) dx integralini n = 4 şeritli Simpson kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. S değerini verin.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 4

S =

8.Sayısal yöntemlerZor

y₅ ≈ y(0,5) değerini tahmin etmek için y′ = t + y, y(0) = 1 üzerinde h = 0,1 ile Euler yöntemini kullanın.

y′ = t + yy(0) = 1h = 0,1

y₅ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: t = 38,05 min

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma sabiti

k = ln(71/18)/28 = 0,04901 min⁻¹

Hedefe ulaşma süresi

t = ln(71/11)/0,04901 = 38,05 min

Cevap

t = 38,05 min

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(0.5) = 1,342

İntegrasyon çarpanı

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 7e^2t

Genel çözüm

y = 7/2·e^−t + C·e^−3t = 3,5·e^−t + C·e^−3t

Başlangıç koşulu

0 = 3,5 + C → C = −3,5

Hesaplayın

y(0,5) = 3,5·0,6065 + (−3,5)·0,2231 = 1,342

Cevap

y(0,5) = 1,342

3.İntegraller

Cevap: I = 2,333

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Değişken değiştirme

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

İntegral alın ve sınırları koyun

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

Cevap

I = 2,333

4.İntegraller

Cevap: V = 120,6

Dönel cisim hacimleri: y = f(x) eğrisi altındaki x = a’dan x = b’ye bölgeyi x ekseni etrafında döndürmek, x’teki kesiti f(x) yarıçaplı bir disk olan bir cisim oluşturur. Diskleri toplamak V = π∫ₐᵇ f(x)² dx verir. Bölge bir dış R(x) eğrisi ile bir iç r(x) eğrisi arasında olduğunda her dilim bir rondeladır: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Yarıçapların karesini çıkarmadan önce alın.

Kesişim noktaları

6x = 3x² → x = 0, x = 2

Rondela (pul) yöntemi

V = π∫₀² ((6x)² − (3x²)²) dx

İntegral alın

V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38,4 = 120,6

Cevap

V = 120,6

5.Türevler

Cevap: f′(0) = −54

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Zincir kuralı

f′(x) = 3·(−2x + 3)²·(−2)

Yerine koyun

f′(0) = 3·3²·(−2) = −54

Cevap

f′(0) = −54

6.Türevler

Cevap: b = −6

Nokta ve eğim

f(−1) = 2

f′(x) = 6x − 2 → f′(−1) = −8

x = 0'da teğet

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2 − (−8)·(−1) = −6

Cevap

b = −6

7.Sayısal yöntemler

Cevap: S = 0,9272

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Düğümler ve değerler

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,998053 + 2·0,970143 + 4·0,871576 + 0,707107 = 11,125904

Simpson kuralı

S = (0,25/3)·11,125904 = 0,9272

Cevap

S = 0,9272

Bu integralin temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ters türevi yoktur; sayısal bir kuralın tam da gerektiği durum budur.

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₅ = 1,721

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Euler adımları

y₁ = 1 + 0,1·(1) = 1,1

y₂ = 1,1 + 0,1·(1,2) = 1,22

y₃ = 1,22 + 0,1·(1,42) = 1,362

y₄ = 1,362 + 0,1·(1,662) = 1,5282

y₅ = 1,5282 + 0,1·(1,9282) = 1,72102

Grafik

y₅ = 1,721

Cevap

y₅ = 1,721

Tam değer y(0,5) = 1,797443’dir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations