Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

y″ + 5y′ + 4y = 0 denklemini y(0) = 1 ve y′(0) = 0 ile çözün. y(1,5) değerini bulun.

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(1.5) =

2.Diferansiyel denklemlerZor

Bir sistem t ≥ 0 için y″ + y′ + 9,25y = 46,25 denklemine uyuyor ve durgun halden başlıyor: y(0) = 0, y′(0) = 0. Basamak tepkisinin tepe değerini y_max bulun.

y″ + y′ + 9,25y = 46,25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.İntegrallerOrta

y = 0,5x eğrisinin altında, x = 0’dan x = 2’e kadar olan bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin (bir koni) hacmini V bulun.

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 2

V =

4.İntegrallerZor

y = 4 − x² parabolü ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 4 − x²

A =

5.TürevlerOrta

f(x) = x·e^2x olsun. f′(0,5)'yi bulun.

f(x) = x·e^2xx = 0,5

f′(0.5) =

6.TürevlerZor

f(x) = x³ + 3x² − 9x − 6 olsun. Yerel maksimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ + 3x² − 9x − 6

x =

7.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀² eˣ dx integralini n = 2 ile Simpson kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın ve tam değerle karşılaştırın. Mutlak hatayı, |E| = |S − I|, bulun.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

8.Sayısal yöntemlerZor

y₃ ≈ y(0,3) değerini tahmin etmek için y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 üzerinde h = 0,1 ile Heun yöntemini (geliştirilmiş Euler) kullanın.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,1

y₃ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(1.5) = 0,2967

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Karakteristik kökler

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

Başlangıç değerlerinden sabitler

A + B = 1, −1A − 4B = 0

A = 1,333, B = −0,3333

Hesaplayın

y(1,5) = 1,333·e^−1,5 + (−0,3333)·e⁻⁶ = 0,2967

Cevap

y(1,5) = 0,2967

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y_max = 7,962

Sürekli değer ve kökler

y_ss = 5, r = −0,5 ± 3j

Başlangıç değerlerinden sabitler

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −0,5A + 3B = 0 → B = −0,8333

Tepe

t = π/3 = 1,047

y_max = 5·(1 + e^−0,5·π/3) = 7,962

Cevap

y_max = 7,962

3.İntegraller

Cevap: V = 2,094

Dönel cisim hacimleri: y = f(x) eğrisi altındaki x = a’dan x = b’ye bölgeyi x ekseni etrafında döndürmek, x’teki kesiti f(x) yarıçaplı bir disk olan bir cisim oluşturur. Diskleri toplamak V = π∫ₐᵇ f(x)² dx verir. Bölge bir dış R(x) eğrisi ile bir iç r(x) eğrisi arasında olduğunda her dilim bir rondeladır: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Yarıçapların karesini çıkarmadan önce alın.

Disk yöntemi

V = π∫₀² 0,25x² dx

İntegral alın

V = π·0,25·2³/3 = 2,094

Cevap

V = 2,094

Kontrol: yarıçapı 1, yüksekliği 2 olan bir koninin hacmi (1/3)πr²h = 2,094.

4.İntegraller

Cevap: A = 10,67

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Sıfırlar

4 − x² = 0 → x = ±2

İntegral alın

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Cevap

A = 10,67

5.Türevler

Cevap: f′(0.5) = 5,437

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Çarpım kuralı

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(1 + 2·x)

Yerine koyun

f′(0,5) = 2,718·(1 + 1) = 5,437

Cevap

f′(0,5) = 5,437

6.Türevler

Cevap: x = −3

Türev

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3·(x² + 2x − 3)

f′(x) = 0'ı çözün

x = −3 veya x = 1

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x + 6: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12

x = −3

Cevap

x = −3

7.Sayısal yöntemler

Cevap: |E| = 0,03167

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Tam değer

I = 6,389056

Simpson kuralı

S = (1/3)·(1 + 4·2,718282 + 7,389056) = 6,420728

Hata

|E| = |6,420728 − 6,389056| = 0,03167

Cevap

|E| = 0,03167

Bağıl hata: %0,4957.

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₃ = 0,7551

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Heun adımları

y₁ = 0,5 + (0,1/2)(0,75 + 0,819375) = 0,578469

y₂ = 0,578469 + (0,1/2)(0,822311 + 0,884875) = 0,663828

y₃ = 0,663828 + (0,1/2)(0,886988 + 0,938757) = 0,755115

Grafik

y₃ = 0,7551

Cevap

y₃ = 0,7551

Tam değer y(0,3) = 0,755734’dir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations