Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

6 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 23 °C’deki bir odaya alınıyor. 27 dakika sonra sıcaklığı 15 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Sabit k değerini min⁻¹ cinsinden bulun.

T₀ = 6 °CT_a = 23 °CT(27) = 15 °C

k = min⁻¹

2.Diferansiyel denklemlerZor

x > 0 için y(1) = −1 koşuluyla y′ + 2y/x = 4 başlangıç değer problemini çözün. y(3) değerini bulun.

y′ + 2y/x = 4y(1) = −1

y(3) =

3.İntegrallerOrta

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx'i hesaplayın.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

4.İntegrallerZor

y = 2x² ve y = 3x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 2x²y = 3x

A =

5.TürevlerOrta

f(x) = ln(x² + 5) olsun. f′(2)'i bulun.

f(x) = ln(x² + 5)x = 2

f′(2) =

6.TürevlerZor

f(x) = x² − 2x + 6 fonksiyonunun x = −2 noktasındaki teğeti y eksenini y = b'de keser. b'yi bulun.

f(x) = x² − 2x + 6x = −2

b =

7.Sayısal yöntemlerOrta

Bir aracın sürati her 2 s’de bir ölçülüyor (tablo). t = 0’dan t = 8 s’ye kadar aldığı yolu, s, yamuk kuralıyla tahmin edin.

h = 2 sn = 4

s = m

8.Sayısal yöntemlerZor

y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 denklemini Euler yöntemiyle h = 0,25 adımıyla t = 1,25 değerine kadar çözün. Tam çözüm y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e^−2t)’dür. Genel hatayı, |E| = |y(1,25) − y₅|, bulun.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,25

|E| =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: k = 0,02792 min⁻¹

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Sıcaklık farklarının oranı

e^−27k = -8/-17

k için çözün

k = ln(-17/-8)/27 = 0,02792 min⁻¹

Cevap

k = 0,02792 min⁻¹

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(3) = 3,741

İntegrasyon çarpanı

μ = e^{∫2/x dx} = x²

İntegral alın

(x²y)′ = 4x² → x²y = 4x³/3 + C

Başlangıç koşulu

−1 = 4/3 + C → C = −2,333

Hesaplayın

y(3) = (4·3³/3 + (−2,333))/3² = 3,741

Cevap

y(3) = 3,741

3.İntegraller

Cevap: I = 2,333

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Değişken değiştirme

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

İntegral alın ve sınırları koyun

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

Cevap

I = 2,333

4.İntegraller

Cevap: A = 1,125

Kesişim noktaları

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

Üst eksi alt integrali alın

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

Cevap

A = 1,125

5.Türevler

Cevap: f′(2) = 0,4444

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Logaritma için zincir kuralı

f′(x) = 2x/(x² + 5)

Yerine koyun

f′(2) = 4/9 = 0,4444

Cevap

f′(2) = 0,4444

6.Türevler

Cevap: b = 2

Nokta ve eğim

f(−2) = 14

f′(x) = 2x − 2 → f′(−2) = −6

x = 0'da teğet

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 14 − (−6)·(−2) = 2

Cevap

b = 2

7.Sayısal yöntemler

Cevap: s = 111 m

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Ağırlıklı toplam

5 + 2·9 + 2·15 + 2·19 + 20 = 111

Yamuk kuralı

s = (2/2)·111 = 111 m

Cevap

s = 111 m

8.Sayısal yöntemler

Cevap: |E| = 0,008947

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Euler adımları

y₅ = 1,613755

Tam değer

y(1,25) = 1,604808

Genel hata

|E| = |1,604808 − 1,613755| = 0,008947

Grafik

Cevap

|E| = 0,008947

h’yi yarıya indirmek Euler yönteminin hatasını kabaca yarıya indirir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations