Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 50 mm, E = 110 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 800 mm’dir ve rijit levhalar arasında 50 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 50 kNçubuk: Ø30 mm, E = 200 GPaboru: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 10 kNparça 1: Ø40 mm, 1,5 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1,5 m, bakır (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

1,5 m uzunluğundaki dolu bir çelik mil 1000 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 1°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 1000 N·mL = 1,5 mG = 80 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir çelik mil 500 rpm’de 10 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 40 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 1° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 3 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mw = 3 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 3 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1,5 m çıkma yapar. Tüm A–C boyunca düzgün yayılı w yükü etkir. B mesnedindeki eğilme momenti M_B değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6,5 mw = 12 kN/m, 0 ile 6,5 m arasındamesnetler x = 0 ve x = 5 m konumlarında

M_B = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 10 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σ_alt değerini bulun.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmM = 10 kN·m

σ_alt = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 0 MPa, σᵧ = 50 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 0 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 70 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 350 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 70 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θ_A değerini radyan cinsinden bulun.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 21 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 65 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 65 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,08363 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·3063 = 4,783 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 50000·800/4,783 × 10⁸ = 0,08363 mm

Cevap

δ = 0,08363 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 49,74 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 7,958 MPa

σ₂ = 49,74 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 49,74 MPa

Cevap

σ_max = 49,74 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: d = 57,51 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1500/(80000·0,01745) = 1,074 × 10⁶ mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 57,51 mm

Cevap

d = 57,51 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 34,36 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Dayanım için çap

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·40)) = 28,97 mm

Rijitlik için çap

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 34,36 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(28,97, 34,36) = 34,36 mm

Cevap

d = 34,36 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 4,5 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

x = 3 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 6·3 − 3·3·1,5 = 4,5 kN·m

Cevap

M_x = 4,5 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_B = −13,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Çıkmadaki yük dahil tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·6,5 = 78 kN, x̄ = 3,25 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·6,5·3,25

R_B = 253,5/5 = 50,7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 78 − 50,7 = 27,3 kN

B’den kesin ve çıkmayı tutun

Çıkmadaki yük w·a, B’den a/2 uzaklıkta etkir ve kirişi mesnet üzerinde negatif yönde eğer.

M_B = −w·a²/2 = −12·1,5²/2 = −13,5 kN·m

Cevap

M_B = −13,5 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 112,7 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 300 + 25/2 = 312,5 mm

gövde: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·312,5 + 5400·150)/10900 = 232 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 220·25³/12 + 5500·(312,5 − 232)² = 3,593 × 10⁷ mm⁴

gövde: 18·300³/12 + 5400·(150 − 232)² = 7,681 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,593 × 10⁷ + 7,681 × 10⁷ = 1,127 × 10⁸ mm⁴ = 112,7 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 112,7 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_alt = 48,08 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

gövde: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·235 + 2640·110)/11040 = 205,1 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 280·30³/12 + 8400·(235 − 205,1)² = 8,135 × 10⁶ mm⁴

gövde: 12·220³/12 + 2640·(110 − 205,1)² = 3,453 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,135 × 10⁶ + 3,453 × 10⁷ = 4,266 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 205,1 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·205,1/4,266 × 10⁷ = 48,08 MPa

Cevap

σ_alt = 48,08 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 55,9 MPa

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((0 − 50)/2)² + 50²) = 55,9 MPa

Cevap

τ_max = 55,9 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 3,4

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 20 MPa, R = 58,31 MPa

σ₁ = 78,31 MPa, σ₂ = −38,31 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(78,31² − 78,31·(−38,31) + (−38,31)²) = 103 MPa

n = 350/103 = 3,4

Cevap

n = 3,4

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

11.Kiriş sehimi

Cevap: θ_A = 0,003367 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Uç eğimi

θ_A = wL³/(24EI) = 4·2000³/(24·3,96 × 10¹¹) = 0,003367 rad

Cevap

θ_A = 0,003367 rad

Bu, 0,1929° eder.

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 6,133 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 21000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 21000·3000³/(48·3,99 × 10¹²) = 2,961 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 3,172 mm

Toplayın

δ_max = 2,961 + 3,172 = 6,133 mm

Cevap

δ_max = 6,133 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 22,21 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/4000² = 22207 N = 22,21 kN

Cevap

P_cr = 22,21 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 57,3 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 57,3 mm

Cevap

d = 57,3 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 104,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials