Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 25 mmPirinç0,5 mP = 20 kN

Eksenel yük altında pirinç çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 20 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 35 mmÇelik1,5 mØ 12 mmÇelik1 mP = 115 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 115 kNparça 1: Ø35 mm, 1,5 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Millerin burulmasıOrta
T = 200 N·md = 30 mmL = 2 mφ = ?

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md = 30 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
Tdo​ = 40 mm, di​ = 32 mm

İçi boş bir mil 1500 dev/dk’da 30 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

P = 30 kWN = 1500 rpmdo = 40 mmdi = 32 mm
τmax = MPa
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
P1​ = 80 kNP2​ = 65 kNABC1,5 m4,5 m1,5 m

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1,5 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P1 tekil yükünü ve C’de P2 tekil yükünü taşır. B mesnedinin hemen solundaki kesme kuvveti Vx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 7,5 mP1 = 80 kN @ 1,5 mP2 = 65 kN @ 7,5 mmesnetler x = 0 ve x = 6 m konumlarında
Vx = kN
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
8 kN/m30 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

30 kN @ 0 m25 kN @ 6 m8 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
1603201810xboyutlar mm cinsinden

Simetrik bir I kesitin başlıkları 160 mm genişliğinde ve 18 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 320 mm ve gövdesi 10 mm kalınlığındadır. Yatay ağırlık merkezi ekseni x’e göre eğilme için elastik kesit modülü Sx değerini bulun.

B = 160 mmH = 320 mmtf = 18 mmtw = 10 mm
Sx = × 10³ mm³
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
150 mm300 mm120 mm80 × 20xIx​ = ?

150 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, 80 mm genişliğinde ve 20 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 120 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 150 mmh = 300 mmkesik: 80 × 20 mmdelik merkezi: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = −60σy​ = 80τxy​ = −50MPa

Bir noktada σₓ = −60 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 20° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σy′ değerini bulun.

σx = −60 MPaσy = 80 MPaτxy = −50 MPaθ = 20°
σy′ = MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​ = −40σy​ = −40τxy​ = 10MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −40 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 15° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.

σx = −40 MPaσy = −40 MPaτxy = 10 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.Kiriş sehimiOrta
w = 10 kN/mP = 30 kNABδ2 m

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 30 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Kiriş sehimiZor
w = 8 kN/mAB8 m

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki RB değerini bulun.

L = 8 mw = 8 kN/m
RB = kN
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 5 m50 × 80 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
PL = 5 md = 40 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,2037 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 20·1000/490,9 = 40,74 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 40,74/100000 = 0,0004074 = 407,4 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,0004074·500 mm = 0,2037 mm

Cevap

δ = 0,2037 mm
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 5,981 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 119,5 MPa
σ2 = 1017 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ1 = σ1L1/E1 = 119,5·1500/200000 = 0,8965 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 1017·1000/200000 = 5,084 mm
δ = δ1 + δ2 = 5,981 mm

Cevap

δ = 5,981 mm
3.Millerin burulması

Cevap: φ = 11,08 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(26000·79522) = 0,1935 rad
φ = 0,1935·180/π = 11,08°

Cevap

φ = 11,08°
4.Millerin burulması

Cevap: τmax = 25,74 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Polar atalet momenti

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τmax = T·(do/2)/J = 190986·20/148384 = 25,74 MPa

Cevap

τmax = 25,74 MPa
5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Vx = −36,25 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣMA = 0: RB·6 = 80·1,5 + 65·7,5
RB = 607,5/6 = 101,3 kN
ΣFy = 0: RA = 145 − 101,3 = 43,75 kN

B’nin hemen solundan kesin ve sol parçayı tutun

Vx = RA − P1 = 43,75 − 80 = −36,25 kN

Cevap

Vx = −36,25 kN
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 1 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 47,25 kN, R2 = 39,75 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = −30 kN·m, MC = −16,75, MD = −11,5, ME = −14,25, MF = −25, MG = 0

Cevap

İşaret B: MB = −30 kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Sx = 941,1 × 10³ mm³

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = Ic + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır.

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − tw) genişliğinde ve hw = H − 2tf yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

hw = 320 − 2·18 = 284 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (160·320³ − 150·284³)/12
Ix = 1,506 × 10⁸ mm⁴

Kesit modülü

c = H/2 = 160 mm
Sx = I/c = 1,506 × 10⁸/160
Sx = 941112 mm³ = 941,1 × 10³ mm³

Cevap

Sx = 941,1 × 10³ mm³
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 336 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (45000·150 − 1600·120)/(45000 − 1600) = 151,1 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·300³/12 + 45000·−1,106² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

80·20³/12 + 1600·−31,11² = 1,601 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 336 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 336 × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σy′ = 95,76 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σy′ = 10 − (−70)·0,766 − (−50)·0,6428 = 95,76 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σx′ = −75,76 MPa, σx′ + σy′ = 20 = σx + σy

Cevap

σy′ = 95,76 MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σθ = −35 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dönüşüm denklemi

σθ = −40 + 0·0,866 + 10·0,5 = −35 MPa

Cevap

σθ = −35 MPa
11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 17,01 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 30000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(3EI) = 30000·2000³/(3·5,88 × 10¹²) = 13,61 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 3,401 mm

Toplayın

δ = 13,61 + 3,401 = 17,01 mm

Cevap

δ = 17,01 mm
12.Kiriş sehimi

Cevap: RB = 24 kN

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Hiperstatik bir kirişte fazla bir mesnedi kaldırın ve oradaki sehimin sıfır olmasını şart koşun (uygunluk koşulu).

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δload = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti RB serbest ucu RBL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·8/8 = 24 kN

Cevap

RB = 24 kN
13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 92,12 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2500² = 92116 N = 92,12 kN

Cevap

Pcr = 92,12 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 16,11 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/10 = 350

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/350² = 16,11 MPa

Cevap

σcr = 16,11 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials