Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 15 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) ile pirinç malzemeden yapılmış bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 200 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 40 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir pirinç mil 300 rpm’de 30 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 40 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,5° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 30 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 2 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti V_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mw = 5 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 2 m

V_x = kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

55 kN @ 0 m40 kN @ 6 m35 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 15 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mmM = 15 kN·m

σ_üst = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 10 MPa, σᵧ = 40 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 10 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 1500 mm ve et kalınlığı 15 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 1,2 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 55° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σ_n değerini bulun.

D = 1500 mmt = 15 mmp = 1,2 MPaα = 55°

σ_n = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θ_A değerini radyan cinsinden bulun.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 373 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/201,1 = 74,6 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 74,6/200000 = 0,000373 = 373 µε

Cevap

ε = 373 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 33,95 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 100000·706,9/200 = 353429 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 40000·353429/589049 = 24000 N

Gerilme

σ₂ = 24000/706,9 = 33,95 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 33,95 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 10,96 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(26000·251327) = 0,1913 rad

φ = 0,1913·180/π = 10,96°

Cevap

φ = 10,96°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 73,12 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Dayanım için çap

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·40)) = 49,54 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 73,12 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(49,54, 73,12) = 73,12 mm

Cevap

d = 73,12 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: V_x = 15 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

x = 2 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = R_A − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)

V_x = 25 − 5·2 = 15 kN

Cevap

V_x = 15 kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 1 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 67,5 kN, R₂ = 62,5 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −55 kN·m, M_C = −42,5, M_D = −30, M_E = −17,5, M_F = −40, M_G = 0

Cevap

İşaret B: M_B = −55 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 83,67 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

gövde: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·307,5 + 4200·150)/8400 = 228,8 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 280·15³/12 + 4200·(307,5 − 228,8)² = 2,613 × 10⁷ mm⁴

gövde: 14·300³/12 + 4200·(150 − 228,8)² = 5,755 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,613 × 10⁷ + 5,755 × 10⁷ = 8,367 × 10⁷ mm⁴ = 83,67 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 83,67 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 34,14 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

gövde: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·305 + 3600·150)/5000 = 193,4 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 140·10³/12 + 1400·(305 − 193,4)² = 1,745 × 10⁷ mm⁴

gövde: 12·300³/12 + 3600·(150 − 193,4)² = 3,378 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,745 × 10⁷ + 3,378 × 10⁷ = 5,123 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 310 − 193,4 = 116,6 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·116,6/5,123 × 10⁷ = 34,14 MPa

Cevap

σ_üst = 34,14 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 52,2 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((10 − 40)/2)² + 50²) = 52,2 MPa

Cevap

τ_max = 52,2 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_n = 39,87 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1,2·750/15 = 60 MPa

σ_a = pr/(2t) = 30 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σ_n = 30·sin²55° + 60·cos²55° = 39,87 MPa

Cevap

σ_n = 39,87 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: θ_A = 0,01587 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Uç eğimi

θ_A = wL³/(24EI) = 15·4000³/(24·2,52 × 10¹²) = 0,01587 rad

Cevap

θ_A = 0,01587 rad

Bu, 0,9095° eder.

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 218,2 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·4000⁴/(384·11000·11,11) = 2,182 × 10⁸ mm⁴

I_req = 218,2 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 218,2 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 51,56 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/3500² = 51564 N = 51,56 kN

Cevap

P_cr = 51,56 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 145 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/15 = 116,7

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/116,7² = 145 MPa

Cevap

σ_cr = 145 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials