Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 20 mmBakır0,5 mP = 55 kN

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 55 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 40 mmÇelik1 mØ 12 mmÇelik1,5 mP = 80 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.

P = 80 kNparça 1: Ø40 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1,5 m, çelik (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Millerin burulmasıOrta
d = ?T = 100 N·mL = 1,5 m

1,5 m uzunluğundaki dolu bir alüminyum mil 100 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 0,5°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 100 N·mL = 1,5 mG = 26 GPaφallow = 0,5°
d = mm
4.Millerin burulmasıZor
d = 60 mmT0​ = 1500 N·mACBa = 0,5 mb = 0,8 m

60 mm çaplı dolu bir pirinç mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 0,5 m ve B’den 0,8 m uzaklıktaki C’de 1500 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku TA değerini bulun.

d = 60 mmT0 = 1500 N·ma = 0,5 mb = 0,8 m
TA = N·m
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 10 kN/mABkesit3,5 m6,5 m

A mesnedinden x = 3,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mw = 10 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 3,5 m
Mx = kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 12 kN/mABC6 m1 m

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1 m çıkma yapar. Tüm A–C boyunca düzgün yayılı w yükü etkir. B mesnedindeki eğilme momenti MB değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 7 mw = 12 kN/m, 0 ile 7 m arasındamesnetler x = 0 ve x = 6 m konumlarında
MB = kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
xD = 130d = 110boyutlar mm cinsinden

Dairesel bir borunun dış çapı D = 130 mm ve iç çapı d = 110 mm’tür. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

D = 130 mmd = 110 mm
r = mm
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
240302008xM = 5 kN·mboyutlar mm cinsinden

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 5 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σalt değerini bulun.

bf = 240 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 200 mmM = 5 kN·m
σalt = MPa
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = 30σy​ = 50τxy​ = 50MPa

Bir noktada σₓ = 30 MPa, σᵧ = 50 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünde 45° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σy′ değerini bulun.

σx = 30 MPaσy = 50 MPaτxy = 50 MPaθ = -45°
σy′ = MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​ = 30σy​ = 60τxy​ = −30MPa

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 60 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (σz = 0). Malzemenin akma dayanımı 355 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σx = 30 MPaσy = 60 MPaτxy = −30 MPaσY = 355 MPa
n =
11.Kiriş sehimiOrta
w = 12 kN/mδL = 4 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δmax değerini bulun.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Kiriş sehimiZor
w = 20 kN/mδL = 1,5 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti Ireq değerini bulun.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 2 md = 30 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
PL = 5 md = 30 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,7482 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 55·1000/314,2 = 175,1 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 175,1/117000 = 0,001496 = 1496 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001496·500 mm = 0,7482 mm

Cevap

δ = 0,7482 mm
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σmax = 707,4 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 63,66 MPa
σ2 = 707,4 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σmax = 707,4 MPa

Cevap

σmax = 707,4 MPa
3.Millerin burulması

Cevap: d = 50,94 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 1,5 m = 1500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad
J = TL/(Gφ) = 100000·1500/(26000·0,008727) = 661105 mm⁴

Çap

d = (32J/π)1/4 = 50,94 mm

Cevap

d = 50,94 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: TA = 923,1 N·m

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·0,8/1,3 = 923,1 N·m
TB = 1500·0,5/1,3 = 576,9 N·m

Cevap

TA = 923,1 N·m
5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 113,8 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 10·10·5
RB = 500/10 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 50 = 50 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 50RB​ = 50kesit3,5 m6,5 m

x = 3,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 50·3,5 − 10·3,5·1,75 = 113,8 kN·m

Cevap

Mx = 113,8 kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: MB = −6 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Çıkmadaki yük dahil tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·7 = 84 kN, x̄ = 3,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 12·7·3,5
RB = 294/6 = 49 kN
ΣFy = 0: RA = 84 − 49 = 35 kN

B’den kesin ve çıkmayı tutun

Çıkmadaki yük w·a, B’den a/2 uzaklıkta etkir ve kirişi mesnet üzerinde negatif yönde eğer.

MB = −w·a²/2 = −12·1²/2 = −6 kN·m

Cevap

MB = −6 kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 42,57 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = Ic + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

A = π(D² − d²)/4 = 3770 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 6,833 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(6,833 × 10⁶/3770) = 42,57 mm

Cevap

r = 42,57 mm
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σalt = 41,86 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: Af = 240·30 = 7200 mm², yf = 200 + 30/2 = 215 mm
gövde: Aw = 8·200 = 1600 mm², yw = 200/2 = 100 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7200·215 + 1600·100)/8800 = 194,1 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 240·30³/12 + 7200·(215 − 194,1)² = 3,688 × 10⁶ mm⁴
gövde: 8·200³/12 + 1600·(100 − 194,1)² = 1,95 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,688 × 10⁶ + 1,95 × 10⁷ = 2,319 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 194,1 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·194,1/2,319 × 10⁷ = 41,86 MPa

Cevap

σalt = 41,86 MPa
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σy′ = 90 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σy′ = 40 − (−10)·0 − 50·(−1) = 90 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σx′ = −10 MPa, σx′ + σy′ = 80 = σx + σy

Cevap

σy′ = 90 MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 4,831

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σY’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σY/2’ye ulaştığında akma öngörür.

στxyCσ1​σ2​

Asal gerilmeler

C = 45 MPa, R = 33,54 MPa
σ1 = 78,54 MPa, σ2 = 11,46 MPa, σ3 = 0

von Mises

σvM = √(78,54² − 78,54·11,46 + 11,46²) = 73,48 MPa
n = 355/73,48 = 4,831

Cevap

n = 4,831

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

11.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 47,62 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Sehim

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 47,62 mm

Cevap

δmax = 47,62 mm
12.Kiriş sehimi

Cevap: Ireq = 28,76 × 10⁶ mm⁴

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·1500⁴/(384·11000·4,167) = 2,876 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 28,76 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ireq = 28,76 × 10⁶ mm⁴
13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 6,867 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Cevap

Pcr = 6,867 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 3,172 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/7,5 = 466,7

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/466,7² = 3,172 MPa

Cevap

σcr = 3,172 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials