Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 50 kNd = 10 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 20 kNparça 1: Ø25 mm, 2 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø12 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir pirinç mil (dış çap 75 mm, iç çap 45 mm, uzunluk 2,5 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 2000 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 2000 N·md_o = 75 mmd_i = 45 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir pirinç mil 300 rpm’de 50 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 75 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,5° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1,5 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. P₁ yükünün altındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 7,5 mP₁ = 30 kN @ 2,5 mP₂ = 45 kN @ 7,5 mmesnetler x = 0 ve x = 6 m konumlarında

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

25 kN @ 0 m10 kN @ 6 m10 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 140 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 130 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 10 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinin alt kenardan yüksekliği ȳ değerini bulun.

b = 140 mmh = 130 mmt = 10 mm

ȳ = mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 110 × 12 mm üst başlığı, 180 mm yüksekliğinde ve 12 mm kalınlığında gövdesi ve 270 × 18 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 110 × 12 mmgövde: 12 × 180 mmalt başlık: 270 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −60 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = −60 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 100 MPa, σᵧ = 100 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 35° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 100 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θ_A değerini radyan cinsinden bulun.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş B mesnedinden b = 3 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Kirişin en büyük sehimi δ_max değerini bulun.

P = 19 kNb = 3 mL = 8 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 80 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 80 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 27,28 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 50·1000/78,54 = 636,6 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 636,6/70000 = 0,009095 = 9095 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,009095·3000 mm = 27,28 mm

Cevap

δ = 27,28 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,139 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 40,74 MPa

σ₂ = 176,8 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 40,74·2000/117000 = 0,6965 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 176,8·500/200000 = 0,4421 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,139 mm

Cevap

δ = 1,139 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 2,717 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Burulma açısı

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·2500/(39000·2,704 × 10⁶) = 0,04742 rad

φ = 0,04742·180/π = 2,717°

Cevap

φ = 2,717°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 83,08 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Dayanım için çap

T = 1592 N·m = 1,592 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·75)) = 47,63 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·1,592 × 10⁶/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 83,08 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(47,63, 83,08) = 83,08 mm

Cevap

d = 83,08 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 15,63 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·2,5 + 45·7,5

R_B = 412,5/6 = 68,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 68,75 = 6,25 kN

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun

M_x = R_A·2,5 = 6,25·2,5 = 15,63 kN·m

Cevap

M_x = 15,63 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 1 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 41,67 kN, R₂ = 23,33 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −25 kN·m, M_C = −13,33, M_D = −11,67, M_E = −20, M_F = −10, M_G = 0

Cevap

İşaret B: M_B = −25 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: ȳ = 46,05 mm

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A₁ = 140·10 = 1400 mm², y₁ = 5 mm

iki kol: A₂ = 2·10·120 = 2400 mm², y₂ = 10 + 120/2 = 70 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1400·5 + 2400·70)/3800 = 46,05 mm

Cevap

ȳ = 46,05 mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 50,72 × 10⁶ mm⁴

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 1320 mm², y = 204 mm

gövde: A = 2160 mm², y = 108 mm

alt başlık: A = 4860 mm², y = 9 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1320·204 + 2160·108 + 4860·9)/8340 = 65,5 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 110·12³/12 + 1320·138,5² = 2,534 × 10⁷ mm⁴

gövde: 12·180³/12 + 2160·42,5² = 9,733 × 10⁶ mm⁴

alt başlık: 270·18³/12 + 4860·56,5² = 1,565 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,534 × 10⁷ + 9,733 × 10⁶ + 1,565 × 10⁷

I_x = 5,072 × 10⁷ mm⁴ = 50,72 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 50,72 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 42,72 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((−60 − −30)/2)² + −40²) = 42,72 MPa

Cevap

τ_max = 42,72 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 71,81 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 100 + 0·0,342 + −30·0,9397 = 71,81 MPa

Cevap

σ_θ = 71,81 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: θ_A = 0,0386 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Uç eğimi

θ_A = wL³/(24EI) = 15·2500³/(24·2,53 × 10¹¹) = 0,0386 rad

Cevap

θ_A = 0,0386 rad

Bu, 2,212° eder.

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 46,73 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 19000 N, b = 3000 mm, L = 8000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

En büyük değerin konumu

Uzun parçadaki eğimi sıfıra eşitlemek konumu verir.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3000²)/3) = 4282 mm

En büyük sehim

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 46,73 mm

Cevap

δ_max = 46,73 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 47,98 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/3000² = 47977 N = 47,98 kN

Cevap

P_cr = 47,98 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 80,72 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 80,72 mm

Cevap

d = 80,72 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 148,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Mukavemet: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Millerin burulması

Yöntem

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Yöntem

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Yöntem

Kiriş sehimi

Kolon burkulması

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Gerilme

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

Uzama

Cevap

İki parçada aynı kuvvet

Parça uzamalarını toplayın

Cevap

Polar atalet momenti

Burulma açısı

Cevap

Tork

Dayanım için çap

Rijitlik için çap

Belirleyici çap

Cevap

Mesnet tepkileri

P1 altından kesin ve sol parçayı tutun

Cevap

Mesnet tepkileri

Her işaretteki eğilme momenti

Cevap

Dikdörtgenlere ayırın

Ağırlık merkezi

Cevap

Üç dikdörtgene ayırın

Ağırlık merkezi

Paralel eksen teoremi

Cevap

Mohr dairesinin yarıçapı

Cevap

Dönüşüm denklemi

Cevap

Tutarlı birimler

Uç eğimi

Cevap

Tutarlı birimler

En büyük değerin konumu

En büyük sehim

Cevap

En küçük atalet momenti

Burkulma boyu

Kritik yük

Cevap

Gereken kritik yük

Çap için çözün

Cevap

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun