Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 25 mmBakır1 mP = 20 kN

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 20 kNd = 25 mmL = 1 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 40 mmAlüminyum1 mØ 12 mmÇelik0,5 mP = 90 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 90 kNparça 1: Ø40 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø12 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Millerin burulmasıOrta
do​ = ?T = 2000 N·m

İçi boş bir mil 2000 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,5 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 75 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap do değerini bulun.

T = 2000 N·mdi/do = 0,5τallow = 75 MPa
do = mm
4.Millerin burulmasıZor
Tdo​ = 60 mm, di​ = 36 mm

İçi boş bir mil 1800 dev/dk’da 50 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

P = 50 kWN = 1800 rpmdo = 60 mmdi = 36 mm
τmax = MPa
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
P1​ = 30 kNP2​ = 30 kNAB1 m6 m1 m

Basit mesnetli kiriş iki tekil yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 8 mP1 = 30 kN @ 1 mP2 = 30 kN @ 7 m
Mmax = kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
8 kN/m50 kN10 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

50 kN @ 0 m10 kN @ 6 m55 kN @ 4 m8 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
120110t = 14xboyutlar mm cinsinden

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 120 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 110 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 14 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti Ix değerini bulun.

b = 120 mmh = 110 mmt = 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
200 mm240 mm84 mm80 × 50xIx​ = ?

200 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, 80 mm genişliğinde ve 50 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 84 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 200 mmh = 240 mmkesik: 80 × 50 mmdelik merkezi: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = 60σy​ = 50τxy​ = 10MPa

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 50 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa, σz = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τabs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σx = 60 MPaσy = 50 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​ = −80σy​ = 10τxy​ = 50MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −80 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 30° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τθ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σx = −80 MPaσy = 10 MPaτxy = 50 MPaθ = 30°
τθ = MPa
11.Kiriş sehimiOrta
w = 4 kN/mδL = 4 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δmax değerini bulun.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Kiriş sehimiZor
w = 20 kN/mP = 29 kNδL = 2 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δmax değerini bulun.

P = 29 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (çelik)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 4 md = 80 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
P = 45 kNL = 3 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 45 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 45 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,3482 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 20·1000/490,9 = 40,74 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 40,74/117000 = 0,0003482 = 348,2 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,0003482·1000 mm = 0,3482 mm

Cevap

δ = 0,3482 mm
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 3,013 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 71,62 MPa
σ2 = 795,8 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ1 = σ1L1/E1 = 71,62·1000/70000 = 1,023 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 795,8·500/200000 = 1,989 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,013 mm

Cevap

δ = 3,013 mm
3.Millerin burulması

Cevap: do = 52,52 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·75·0,9375)) = 52,52 mm
di = 0,5·52,52 = 26,26 mm

Cevap

do = 52,52 mm

Dolu bir mil d = 51,4 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: τmax = 7,186 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Polar atalet momenti

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τmax = T·(do/2)/J = 265258·30/1,107 × 10⁶ = 7,186 MPa

Cevap

τmax = 7,186 MPa
5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 30 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

ΣMA = 0: RB·8 = 30·1 + 30·7
RB = 240/8 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN

Her yükün altındaki moment

Her yükün solundaki parçayı tutun.

yük altında P1: M = RA·1 = 30·1 = 30 kN·m
yük altında P2: M = RB·1 = 30·1 = 30 kN·m

En büyük değer

Mmax = 30 kN·m (yük altında P1)

Cevap

Mmax = 30 kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 1 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 89,75 kN, R2 = 57,25 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = −50 kN·m, MC = −14,25, MD = 13,5, ME = 33,25, MF = −10, MG = 0

Cevap

İşaret B: MB = −50 kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 5,219 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A1 = 120·14 = 1680 mm², y1 = 7 mm
iki kol: A2 = 2·14·96 = 2688 mm², y2 = 14 + 96/2 = 62 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1680·7 + 2688·62)/4368 = 40,85 mm

Paralel eksen teoremi

baz: 120·14³/12 + 1680·(7 − 40,85)² = 1,952 × 10⁶ mm⁴
iki kol: 2·14·96³/12 + 2688·(62 − 40,85)² = 3,267 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,952 × 10⁶ + 3,267 × 10⁶
Ix = 5,219 × 10⁶ mm⁴ = 5,219 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 5,219 × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 223,9 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (48000·120 − 4000·84)/(48000 − 4000) = 123,3 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

200·240³/12 + 48000·−3,273² = 230,9 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

80·50³/12 + 4000·−39,27² = 7,003 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 223,9 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 223,9 × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τabs = 33,09 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σmax − σmin)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

σxyCσ1​σ2​

Düzlem içi asal gerilmeler

C = 55 MPa, R = √(5² + 10²) = 11,18 MPa
σ1 = 66,18 MPa, σ2 = 43,82 MPa, σz = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(22,36, 66,18, 43,82)/2 = 33,09 MPa

Cevap

τabs = 33,09 MPa

Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τθ = 63,97 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dönüşüm denklemi

τθ = −−45·0,866 + 50·0,5 = 63,97 MPa

Cevap

τθ = 63,97 MPa
11.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 5,291 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Sehim

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 5,291 mm

Cevap

δmax = 5,291 mm
12.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 5,294 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 29000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(48EI) = 29000·2000³/(48·1,7 × 10¹²) = 2,843 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 2,451 mm

Toplayın

δmax = 2,843 + 2,451 = 5,294 mm

Cevap

δmax = 5,294 mm
13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 506,2 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2800² = 506225 N = 506,2 kN

Cevap

Pcr = 506,2 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: d = 54,71 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 54,71 mm

Cevap

d = 54,71 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 109,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials