Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında pirinç çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 55 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 10 kNparça 1: Ø35 mm, 0,5 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø12 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 10 mm çaplı dolu bir numune 40 N·m torkla burulmuştur. 250 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 7,3° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 40 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 7,3°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir pirinç mil 750 rpm’de 15 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 50 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,5° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 15 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 0,5 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti M_A değerini A ankastre mesnedinde bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 3 mP = 80 kN @ 0,5 mw = 10 kN/m, 0 ile 3 m arasında

M_A = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 10 mP = 55 kN @ 5 mw = 5 kN/m, 0 ile 10 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 35 MPa, basınçta 90 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük pozitif eğilme momenti M_allow değerini bulun.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 60 MPa, σᵧ = 50 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 60 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 150 MPa, σᵧ = 110 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 30° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 150 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 13 kNw = 10 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

125 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/250 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 3 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 125 mm

h_req = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 75 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 75 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,7781 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/706,9 = 77,81 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 77,81/100000 = 0,0007781 = 778,1 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,0007781·1000 mm = 0,7781 mm

Cevap

δ = 0,7781 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,9362 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 10,39 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 10,39·500/100000 = 0,05197 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 88,42·2000/200000 = 0,8842 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,9362 mm

Cevap

δ = 0,9362 mm

3.Millerin burulması

Cevap: G = 79,95 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 7,3·π/180 = 0,1274 rad

Kayma modülü

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(981,7·0,1274) = 79947 MPa

G = 79,95 GPa

Cevap

G = 79,95 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 48,9 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Dayanım için çap

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·50)) = 26,89 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 48,9 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(26,89, 48,9) = 48,9 mm

Cevap

d = 48,9 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_A = −85 kN·m

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −80·0,5 = −40 kN·m

w: −10·3²/2 = −45 kN·m

M_A = −40 − 45 = −85 kN·m

Cevap

M_A = −85 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 200 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·5 + 5·10·5

R_B = 525/10 = 52,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 52,5 = 52,5 kN

V = 0 nerede?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 27,5 kN

V(5⁺) = 27,5 − 55 = −27,5 kN

Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 52,5·5 − 5·5²/2 = 200 kN·m

Cevap

M_max = 200 kN·m

A’dan x = 5 m uzaklıkta oluşur.

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 137,9 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

gövde: A_w = 20·300 = 6000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·315 + 6000·150)/13800 = 243,3 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 260·30³/12 + 7800·(315 − 243,3)² = 4,073 × 10⁷ mm⁴

gövde: 20·300³/12 + 6000·(150 − 243,3)² = 9,719 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,073 × 10⁷ + 9,719 × 10⁷ = 1,379 × 10⁸ mm⁴ = 137,9 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 137,9 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 9,709 kN·m

Ağırlık merkezi

ȳ = (3200·230 + 4400·110)/7600 = 160,5 mm

üst kenar: c = 240 − 160,5 = 79,47 mm

Alan atalet momenti

I = 160·20³/12 + 3200·69,47² + 20·220³/12 + 4400·50,53² = 4,453 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Pozitif moment: üst basınçta, alt çekmededir.

üst kenar: M = 90·4,453 × 10⁷/79,47 = 50,43 kN·m

alt kenar: M = 35·4,453 × 10⁷/160,5 = 9,709 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 9,709 kN·m (alt kenar)

Cevap

M_allow = 9,709 kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −85,27 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = −30/30,41 = −0,9864, sin 2θ_s = −5/30,41 = −0,1644

2θ_s = atan2(−5, −30) = −170,5°

Elemandaki açı

θ_s = −85,27°

kontrol: θ_s − θ_p = −85,27 − (−40,27) = −45°

Cevap

θ_s = −85,27°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = −2,321 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −20·0,866 + 30·0,5 = −2,321 MPa

Cevap

τ_θ = −2,321 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 10,41 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 13000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(3EI) = 13000·2500³/(3·1,12 × 10¹³) = 6,045 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 4,36 mm

Toplayın

δ = 6,045 + 4,36 = 10,41 mm

Cevap

δ = 10,41 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 176 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·4000⁴/(384·11000·16) = 5,682 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·5,682 × 10⁷/125)^1/3 = 176 mm

Cevap

h_req = 176 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 46,06 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/1000² = 46058 N = 46,06 kN

Cevap

P_cr = 46,06 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 56,17 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 56,17 mm

Cevap

d = 56,17 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 106,8, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials