Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 20 mmPirinç1 mP = 35 kN

pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 35 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 35 mmÇelik1 mØ 20 mmAlüminyum0,5 mP = 55 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σmax değerini bulun.

P = 55 kNparça 1: Ø35 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø20 mm, 0,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.Millerin burulmasıOrta
T = 100 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
Td = ?

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 50 MPa değerini aşmadan 1000 dev/dk’da 20 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
15 kN/m50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

50 kN @ 3 m15 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
15 kN/m60 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

60 kN @ 0 m35 kN @ 6 m15 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
120251608xboyutlar mm cinsinden

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti Ix değerini bulun.

bf = 120 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
150 mm240 mm156 mm40 × 40xIx​ = ?

150 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, 40 mm genişliğinde ve 40 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 156 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 150 mmh = 240 mmkesik: 40 × 40 mmdelik merkezi: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = −30σy​ = 100MPaτxy​ = ?

Bir noktada σₓ = −30 MPa ve σᵧ = 100 MPa’dır. En büyük asal gerilme 115 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τxy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σx = −30 MPaσy = 100 MPaσ1 = 115 MPa
τxy = MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​τxy​milin üst yüzeyi

25 mm çaplı dolu bir mil, 500 N·m tork ile birlikte 200 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

d = 25 mmM = 200 N·mT = 500 N·m
τmax = MPa
11.Kiriş sehimiOrta
w = 4 kN/mP = 9 kNABδ3 m

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 9 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (çelik)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Kiriş sehimiZor
w = 12 kN/mP = 24 kNδL = 1,5 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δmax değerini bulun.

P = 24 kNw = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 1,5 m30 × 80 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
PL = 1,5 md = 20 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1114 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 35·1000/314,2 = 111,4 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 111,4/100000 = 0,001114 = 1114 µε

Cevap

ε = 1114 µε
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σmax = 175,1 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 57,17 MPa
σ2 = 175,1 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σmax = 175,1 MPa

Cevap

σmax = 175,1 MPa
3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,5699 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(80000·251327) = 0,009947 rad
φ = 0,009947·180/π = 0,5699°

Cevap

φ = 0,5699°
4.Millerin burulması

Cevap: d = 26,89 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·50)) = 26,89 mm

Cevap

d = 26,89 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 3 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 70 kN, R2 = 70 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 62,5, MC = 110, MD = 142,5 kN·m, ME = 110, MF = 62,5, MG = 0

Cevap

İşaret D: MD = 142,5 kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 1 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 96,25 kN, R2 = 58,75 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = −60 kN·m, MC = −31,25, MD = −17,5, ME = −18,75, MF = −35, MG = 0

Cevap

İşaret B: MB = −60 kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 10,56 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: Af = 120·25 = 3000 mm², yf = 160 + 25/2 = 172,5 mm
gövde: Aw = 8·160 = 1280 mm², yw = 160/2 = 80 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·172,5 + 1280·80)/4280 = 144,8 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 120·25³/12 + 3000·(172,5 − 144,8)² = 2,452 × 10⁶ mm⁴
gövde: 8·160³/12 + 1280·(80 − 144,8)² = 8,111 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,452 × 10⁶ + 8,111 × 10⁶ = 1,056 × 10⁷ mm⁴ = 10,56 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 10,56 × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 170,4 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (36000·120 − 1600·156)/(36000 − 1600) = 118,3 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·240³/12 + 36000·1,674² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

40·40³/12 + 1600·37,67² = 2,484 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 170,4 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 170,4 × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τxy = 46,64 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (−30 + 100)/2 = 35 MPa
R = σ1 − C = 115 − 35 = 80 MPa
στxyCσ1​σ2​

Kayma gerilmesi

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 65²) = 46,64 MPa

Cevap

τxy = 46,64 MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τmax = 175,5 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Yüzeydeki gerilmeler

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·25³) = 130,4 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa
στxyCτmax​

Mohr dairesi

C = σ/2 = 65,19 MPa
R = √(65,19² + 163²) = 175,5 MPa

Cevap

τmax = 175,5 MPa
11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 7,232 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 9000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(3EI) = 9000·3000³/(3·1,68 × 10¹³) = 4,821 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 2,411 mm

Toplayın

δ = 4,821 + 2,411 = 7,232 mm

Cevap

δ = 7,232 mm
12.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 3,953 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 24000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm, EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(48EI) = 24000·1500³/(48·6,27 × 10¹¹) = 2,691 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 1,262 mm

Toplayın

δmax = 2,691 + 1,262 = 3,953 mm

Cevap

δmax = 3,953 mm
13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 322,3 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1050² = 322273 N = 322,3 kN

Cevap

Pcr = 322,3 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 44,76 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/5 = 210

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44,76 MPa

Cevap

σcr = 44,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials