Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 15 kNd = 16 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 25 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) ile bakır malzemeden yapılmış bir kesim (çap 50 mm, uzunluk 300 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 60 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 12 mm çaplı dolu bir numune 100 N·m torkla burulmuştur. 300 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 10,55° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 100 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 10,55°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 750 dev/dk’da 100 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 100 kWN = 750 rpmd_o = 100 mmd_i = 75 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 9 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mw = 6 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 9 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 1,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mP = 10 kN @ 1,5 mw = 8 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 40 MPa, basınçta 120 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük negatif eğilme momenti M_allow değerini bulun (büyüklüğünü verin).

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −50 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = −50 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 20 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 275 MPa’dır. von Mises (biçim değiştirme enerjisi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = −60 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Kiriş sehimiOrta

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 2 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δ_B değerini bulun.

P = 11 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 7 kNw = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (çelik)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 55 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 55 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 373 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/201,1 = 74,6 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 74,6/200000 = 0,000373 = 373 µε

Cevap

ε = 373 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 21,57 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 120000·1963/300 = 785398 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 60000·785398/1,113 × 10⁶ = 42353 N

Gerilme

σ₂ = 42353/1963 = 21,57 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 21,57 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: G = 80,03 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 10,55·π/180 = 0,1841 rad

Kayma modülü

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·300/(2036·0,1841) = 80033 MPa

G = 80,03 GPa

Cevap

G = 80,03 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 9,486 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Polar atalet momenti

J = π(100⁴ − 75⁴)/32 = 6,711 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,273 × 10⁶·50/6,711 × 10⁶ = 9,486 MPa

Cevap

τ_max = 9,486 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 27 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

x = 9 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 30·9 − 6·9·4,5 = 27 kN·m

Cevap

M_x = 27 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 38,25 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·1,5 + 8·6·3

R_B = 159/6 = 26,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 26,5 = 31,5 kN

x = 1,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 31,5·1,5 − 8·1,5·0,75 = 38,25 kN·m

Cevap

M_x = 38,25 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 8,492 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167,5 mm

gövde: A_w = 8·160 = 1280 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·167,5 + 1280·80)/3080 = 131,1 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 120·15³/12 + 1800·(167,5 − 131,1)² = 2,414 × 10⁶ mm⁴

gövde: 8·160³/12 + 1280·(80 − 131,1)² = 6,078 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,414 × 10⁶ + 6,078 × 10⁶ = 8,492 × 10⁶ mm⁴ = 8,492 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 8,492 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 27,52 kN·m

Ağırlık merkezi

ȳ = (2700·287,5 + 5040·140)/7740 = 191,5 mm

üst kenar: c = 295 − 191,5 = 103,5 mm

Alan atalet momenti

I = 180·15³/12 + 2700·96,05² + 18·280³/12 + 5040·51,45² = 7,123 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Negatif moment: üst çekmede, alt basınçtadır.

üst kenar: M = 40·7,123 × 10⁷/103,5 = 27,52 kN·m

alt kenar: M = 120·7,123 × 10⁷/191,5 = 44,65 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 27,52 kN·m (üst kenar)

Cevap

M_allow = 27,52 kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 61,85 MPa

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((−50 − −80)/2)² + 60²) = 61,85 MPa

Cevap

τ_max = 61,85 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 2,75

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = −20 MPa, R = 56,57 MPa

σ₁ = 36,57 MPa, σ₂ = −76,57 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(36,57² − 36,57·(−76,57) + (−76,57)²) = 100 MPa

n = 275/100 = 2,75

Cevap

n = 2,75

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_B = 31,88 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 11000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δ_P = Pa³/(3EI) = 18,22 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01366 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 31,88 mm

Cevap

δ_B = 31,88 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 3,167 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 7000 N, w = 20 N/mm, L = 4000 mm, EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 7000·4000³/(48·2,4 × 10¹³) = 0,3889 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 2,778 mm

Toplayın

δ_max = 0,3889 + 2,778 = 3,167 mm

Cevap

δ_max = 3,167 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 12,56 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12,56 kN

Cevap

P_cr = 12,56 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 28,27 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·55000 = 110000 N

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·750²/(π³·200000))^(1/4) = 28,27 mm

Cevap

d = 28,27 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 106,1, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials