Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 90 kNd = 10 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 110 kNparça 1: Ø30 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 12 mm çaplı dolu bir numune 20 N·m torkla burulmuştur. 200 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 4,33° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 20 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 4,33°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 75 MPa değerini aşmadan 300 dev/dk’da 5 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Basit mesnetli kiriş, A’dan x = 5 m uzaklıkta saat yönünde M₀ = 30 kN·m kuvvet çifti taşır; başka yük yoktur. Kuvvet çiftinin hemen solundaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mM₀ = 30 kN·m saat yönünde, konumu 5 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 2,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 60 kN @ 2,5 mw = 6 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 140 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 190 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 10 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinin alt kenardan yüksekliği ȳ değerini bulun.

b = 140 mmh = 190 mmt = 10 mm

ȳ = mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Simetrik bir I kesitin başlıkları 160 mm genişliğinde ve 16 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 240 mm ve gövdesi 14 mm kalınlığındadır. x eksenine göre 150 kN·m eğilme momenti taşır. Gövde ile üst başlığın birleşim yerindeki eğilme gerilmesinin büyüklüğü σ_j değerini bulun.

B = 160 mmH = 240 mmt_f = 16 mmt_w = 14 mmM = 150 kN·m

σ_j = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 160 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 160 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 140 MPa, σᵧ = −20 MPa ve τₓᵧ = −20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 45° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 140 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki R_B değerini bulun.

L = 4 mw = 10 kN/m

R_B = kN

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 9,794 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 90·1000/78,54 = 1146 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1146/117000 = 0,009794 = 9794 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,009794·1000 mm = 9,794 mm

Cevap

δ = 9,794 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 13,95 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 155,6 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 155,6·1000/70000 = 2,223 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 547,1·1500/70000 = 11,72 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 13,95 mm

Cevap

δ = 13,95 mm

3.Millerin burulması

Cevap: G = 26 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 4,33·π/180 = 0,07557 rad

Kayma modülü

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·200/(2036·0,07557) = 26000 MPa

G = 26 GPa

Cevap

G = 26 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 22,11 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·75)) = 22,11 mm

Cevap

d = 22,11 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = −25 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. Uygulanan bir kuvvet çifti, eğilme momenti diyagramında kuvvet çiftinin büyüklüğü kadar sıçrama oluşturur.

Mesnet tepkileri

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif: R_B·L − M₀ = 0. Düşey denge: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/6 = 5 kN (yukarı)

R_A = −R_B = −5 kN (aşağı)

Kuvvet çiftinin hemen solundan kesin

Sol parça yalnızca R_A’yı içerir.

M_x = R_A·a = −5·5 = −25 kN·m

Cevap

M_x = −25 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 67,5 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·2,5 + 6·4·2

R_B = 198/4 = 49,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 49,5 = 34,5 kN

x = 2,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 34,5·2,5 − 6·2,5·1,25 = 67,5 kN·m

Cevap

M_x = 67,5 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: ȳ = 73,4 mm

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A₁ = 140·10 = 1400 mm², y₁ = 5 mm

iki kol: A₂ = 2·10·180 = 3600 mm², y₂ = 10 + 180/2 = 100 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1400·5 + 3600·100)/5000 = 73,4 mm

Cevap

ȳ = 73,4 mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_j = 208,5 MPa

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − t_w) genişliğinde ve h_w = H − 2t_f yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

h_w = 240 − 2·16 = 208 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·240³ − 146·208³)/12

I_x = 7,483 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

y = 120 − 16 = 104 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·104/7,483 × 10⁷ = 208,5 MPa

Cevap

σ_j = 208,5 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 120,8 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((160 − −60)/2)² + −50²) = 120,8 MPa

Cevap

τ_max = 120,8 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 80 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 60 + 80·0 + −20·−1 = 80 MPa

Cevap

σ_θ = 80 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 30,3 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 20·2000⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 30,3 mm

Cevap

δ = 30,3 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: R_B = 15 kN

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·4/8 = 15 kN

Cevap

R_B = 15 kN

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 7,106 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/5000² = 7106 N = 7,106 kN

Cevap

P_cr = 7,106 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 4,318 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/15 = 400

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Cevap

σ_cr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials