Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 30 mmPirinç1 mP = 60 kN

pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 60 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
60 kN12500 mm400 mmØ20Ø30σ2​ = ?

çelik bir kesim (çap 20 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile pirinç malzemeden yapılmış bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 400 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 60 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ2 bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
3.Millerin burulmasıOrta
do​ = 30, di​ = 21 mmT = 1000 N·mL = 0,8 m

İçi boş bir pirinç mil (dış çap 30 mm, iç çap 21 mm, uzunluk 0,8 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 1000 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1000 N·mdo = 30 mmdi = 21 mmL = 0,8 mG = 39 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
do​ = ?100 kW, 1500 rpm

İçi boş bir mil 1500 rpm’de 100 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,5 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 80 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap do değerini bulun.

P = 100 kWN = 1500 rpmdi/do = 0,5τallow = 80 MPa
do = mm
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
M0​ = 25 kN·mAB3,5 m1,5 m

Basit mesnetli kiriş, A’dan x = 3,5 m uzaklıkta saat yönünde M0 = 25 kN·m kuvvet çifti taşır; başka yük yoktur. Kuvvet çiftinin hemen solundaki eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mM0 = 25 kN·m saat yönünde, konumu 3,5 m
Mx = kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
30 kN50 kN20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

30 kN @ 0 m50 kN @ 6 m20 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
150 mm300 mm180 mmØ30xIx​ = ?

150 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 180 mm yukarıda olan 30 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 150 mmh = 300 mmd = 30 mmdelik merkezi: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
200 mm300 mm210 mm60 × 30xIx​ = ?

200 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, 60 mm genişliğinde ve 30 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 210 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 200 mmh = 300 mmkesik: 60 × 30 mmdelik merkezi: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = 40σy​ = −80τxy​ = 40MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 40 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θp değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σx = 40 MPaσy = −80 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​ = 70σy​ = 120τxy​ = −60MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 70 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 25° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.

σx = 70 MPaσy = 120 MPaτxy = −60 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.Kiriş sehimiOrta
P = 29 kNABδ1 m5 m

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 1 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δP değerini bulun.

P = 29 kNa = 1 mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Kiriş sehimiZor
w = 6 kN/mP = 12 kNδL = 2,5 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δmax değerini bulun.

P = 12 kNw = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 3 md = 50 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
PL = 5 md = 50 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 50 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 848,8 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 60·1000/706,9 = 84,88 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 84,88/100000 = 0,0008488 = 848,8 µε

Cevap

ε = 848,8 µε
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ2 = 49,61 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 100000·706,9/400 = 176715 N/mm

2. kesimin payı

F2 = 60000·176715/302378 = 35065 N

Gerilme

σ2 = 35065/706,9 = 49,61 MPa (basınç)

Cevap

σ2 = 49,61 MPa
3.Millerin burulması

Cevap: φ = 19,45 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

Burulma açısı

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 0,8 m = 800 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·800/(39000·60428) = 0,3395 rad
φ = 0,3395·180/π = 19,45°

Cevap

φ = 19,45°
4.Millerin burulması

Cevap: do = 35,1 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·636620/(π·80·0,9375)) = 35,1 mm
di = 0,5·35,1 = 17,55 mm

Cevap

do = 35,1 mm

Dolu bir mil d = 34,35 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = −17,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. Uygulanan bir kuvvet çifti, eğilme momenti diyagramında kuvvet çiftinin büyüklüğü kadar sıçrama oluşturur.

Mesnet tepkileri

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif: RB·L − M0 = 0. Düşey denge: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 25/5 = 5 kN (yukarı)
RA = −RB = −5 kN (aşağı)

Kuvvet çiftinin hemen solundan kesin

Sol parça yalnızca RA’yı içerir.

Mx = RA·a = −5·3,5 = −17,5 kN·m

Cevap

Mx = −17,5 kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: F (x = 5 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 35 kN, R2 = 65 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = −30, MC = −25, MD = −20, ME = −35, MF = −50 kN·m, MG = 0

Cevap

İşaret F: MF = −50 kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 336,8 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (45000·150 − 706,9·180)/(45000 − 706,9) = 149,5 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·300³/12 + 45000·0,4788² = 337,5 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·30⁴/64 + 706,9·30,48² = 0,6964 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 336,8 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 336,8 × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 443,2 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (60000·150 − 1800·210)/(60000 − 1800) = 148,1 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

200·300³/12 + 60000·1,856² = 450,2 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

60·30³/12 + 1800·61,86² = 7,022 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 443,2 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 443,2 × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θp = 16,85 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

στxyCσ1​σ2​

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θp = atan2(2·40, 40 − −80) = 33,69°

Elemandaki açı

θp = 16,85°

Cevap

θp = 16,85°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σθ = 32,97 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dönüşüm denklemi

σθ = 95 + −25·0,6428 + −60·0,766 = 32,97 MPa

Cevap

σθ = 32,97 MPa
11.Kiriş sehimi

Cevap: δP = 5,594 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 29000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δP = Pa²b²/(3EIL) = 29000·1000²·5000²/(3·7,2 × 10¹²·6000) = 5,594 mm

Cevap

δP = 5,594 mm
12.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 11,69 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 12000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm, EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(48EI) = 12000·2500³/(48·5,95 × 10¹¹) = 6,565 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 5,129 mm

Toplayın

δmax = 6,565 + 5,129 = 11,69 mm

Cevap

δmax = 11,69 mm
13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 48,06 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2100² = 48063 N = 48,06 kN

Cevap

Pcr = 48,06 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 25,18 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/12,5 = 280

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Cevap

σcr = 25,18 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials