Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 85 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 45 kNparça 1: Ø40 mm, 1,5 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø16 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir çelik mil 500 rpm’de 20 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 75 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,5° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 0,5 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti V_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mw = 10 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 0,5 m

V_x = kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş, açıklığının bir kısmında düzgün yayılı yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 5 mw = 8 kN/m, 2 ile 4 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

200 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 144 mm yukarıda olan 50 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 200 mmh = 240 mmd = 50 mmdelik merkezi: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 10 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σ_alt değerini bulun.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmM = 10 kN·m

σ_alt = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 40 MPa, σᵧ = −20 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 40° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 40 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 0 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 45° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 0 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 3 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 28 kNa = 3 mL = 4 mE = 200 GPa (çelik)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (çelik)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 10 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 10 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 3,02 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 85·1000/201,1 = 422,8 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 422,8/70000 = 0,006039 = 6039 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,006039·500 mm = 3,02 mm

Cevap

δ = 3,02 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,697 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 35,81 MPa

σ₂ = 223,8 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 35,81·1500/117000 = 0,4591 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 223,8·2000/200000 = 2,238 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,697 mm

Cevap

δ = 2,697 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 1,197 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(39000·613592) = 0,02089 rad

φ = 0,02089·180/π = 1,197°

Cevap

φ = 1,197°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 48,59 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Dayanım için çap

T = 382 N·m = 381972 N·mm

d_τ = ∛(16·381972/(π·75)) = 29,6 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·381972/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 48,59 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(29,6, 48,59) = 48,59 mm

Cevap

d = 48,59 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: V_x = 25 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

x = 0,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = R_A − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)

V_x = 30 − 10·0,5 = 25 kN

Cevap

V_x = 25 kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 15,36 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·2·3

R_B = 48/5 = 9,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 9,6 = 6,4 kN

Sıfır kesme kuvveti

Kesme kuvveti R_A ile başlar, yüksüz kısımlarda sabit kalır ve yükün içinde w eğimiyle azalır.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 6,4/8 = 2,8 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 6,4·2,8 − 8·0,8²/2 = 15,36 kN·m

Cevap

M_max = 15,36 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 228,9 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (48000·120 − 1963·144)/(48000 − 1963) = 119 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

200·240³/12 + 48000·1,024² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·50⁴/64 + 1963·25,02² = 1,536 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 228,9 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 228,9 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_alt = 34,96 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

gövde: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·232,5 + 3960·110)/10460 = 186,1 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 260·25³/12 + 6500·(232,5 − 186,1)² = 1,432 × 10⁷ mm⁴

gövde: 18·220³/12 + 3960·(110 − 186,1)² = 3,892 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,432 × 10⁷ + 3,892 × 10⁷ = 5,324 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 186,1 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·186,1/5,324 × 10⁷ = 34,96 MPa

Cevap

σ_alt = 34,96 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = 34,33 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 10 − 30·0,1736 − (−30)·0,9848 = 34,33 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = −14,33 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 20 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = 34,33 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = −25 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 5 + −5·0 + 30·−1 = −25 MPa

Cevap

σ_θ = −25 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 1,25 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 28000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 28000·3000²·1000²/(3·1,68 × 10¹³·4000) = 1,25 mm

Cevap

δ_P = 1,25 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 7,5 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·4000⁴/(384·200000·11,11) = 7,5 × 10⁶ mm⁴

I_req = 7,5 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 7,5 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 2,768 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1400² = 2768 N = 2,768 kN

Cevap

P_cr = 2,768 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 42,63 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·10000 = 20000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 42,63 mm

Cevap

d = 42,63 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 375,3, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials