Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 85 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 150 MPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 70 mm, E = 120 GPa, izin verilen gerilme 50 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaboru: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 15 mm çaplı dolu bir numune 75 N·m torkla burulmuştur. 250 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 2,7° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 75 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 2,7°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 60 MPa değerini aşmadan 300 dev/dk’da 30 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 30 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Basit mesnetli kiriş iki tekil yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 8 mP₁ = 55 kN @ 2 mP₂ = 20 kN @ 7 m

M_max = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 2 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP = 60 kN @ 2 mw = 12 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 2 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Dairesel bir borunun dış çapı D = 60 mm ve iç çapı d = 44 mm’tür. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

D = 60 mmd = 44 mm

r = mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

100 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, 40 mm genişliğinde ve 50 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 180 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 100 mmh = 300 mmkesik: 40 × 50 mmdelik merkezi: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −60 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = −60 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 50 MPa, σᵧ = 100 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 45° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 50 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (çelik)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki R_B değerini bulun.

L = 8 mw = 6 kN/m

R_B = kN

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 120 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 120 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,569 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/706,9 = 120,3 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 120,3/117000 = 0,001028 = 1028 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001028·2500 mm = 2,569 mm

Cevap

δ = 2,569 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 226,5 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·4006 = 5,435 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,00075, 0,0004167) = 0,0004167 (bakır)

En büyük yük

P_max = 0,0004167·5,435 × 10⁸ = 226456 N = 226,5 kN

Cevap

P_max = 226,5 kN

3.Millerin burulması

Cevap: G = 80,06 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2,7·π/180 = 0,04712 rad

Kayma modülü

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·250/(4970·0,04712) = 80056 MPa

G = 80,06 GPa

Cevap

G = 80,06 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 43,28 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·60)) = 43,28 mm

Cevap

d = 43,28 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 87,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·2 + 20·7

R_B = 250/8 = 31,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 31,25 = 43,75 kN

Her yükün altındaki moment

Her yükün solundaki parçayı tutun.

yük altında P₁: M = R_A·2 = 43,75·2 = 87,5 kN·m

yük altında P₂: M = R_B·1 = 31,25·1 = 31,25 kN·m

En büyük değer

M_max = 87,5 kN·m (yük altında P₁)

Cevap

M_max = 87,5 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 108 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·2 + 12·5·2,5

R_B = 270/5 = 54 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 54 = 66 kN

x = 2 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 66·2 − 12·2·1 = 108 kN·m

Cevap

M_x = 108 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 18,6 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

A = π(D² − d²)/4 = 1307 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 452188 mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(452188/1307) = 18,6 mm

Cevap

r = 18,6 mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 222,7 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (30000·150 − 2000·180)/(30000 − 2000) = 147,9 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

100·300³/12 + 30000·2,143² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

40·50³/12 + 2000·32,14² = 2,483 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 222,7 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 222,7 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 40 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((−60 − −60)/2)² + 40²) = 40 MPa

Cevap

τ_max = 40 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 105 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 75 + −25·0 + −30·−1 = 105 MPa

Cevap

σ_θ = 105 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 65,1 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 6·5000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 65,1 mm

Cevap

δ = 65,1 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: R_B = 18 kN

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·8/8 = 18 kN

Cevap

R_B = 18 kN

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 11,42 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/3000² = 11423 N = 11,42 kN

Cevap

P_cr = 11,42 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 57,49 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·120000 = 240000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 57,49 mm

Cevap

d = 57,49 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 146,1, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials