Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) bakır malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 60 mm, uzunluk 300 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,5 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 105 kNparça 1: Ø25 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1 m, bakır (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 15 mm çaplı dolu bir numune 20 N·m torkla burulmuştur. 300 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 2,66° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 20 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 2,66°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1000 rpm’de 20 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,8 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 80 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 20 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

15 kN @ 2 m15 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

10 kN @ 0 m35 kN @ 6 m50 kN @ 3 m8 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

200 mm × 150 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 60 mm yukarıda olan 50 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 200 mmh = 150 mmd = 50 mmdelik merkezi: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 10 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σ_alt değerini bulun.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mmM = 10 kN·m

σ_alt = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 0 MPa, σᵧ = 70 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 0 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 30 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 25° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

150 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/360 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 150 mm

h_req = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 56,55 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·2827) = 8,842 × 10⁻⁷ mm/N

Yük

P = 0,5/8,842 × 10⁻⁶ = 56549 N = 56,55 kN

Cevap

P = 56,55 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 10,07 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 213,9 MPa

σ₂ = 928,4 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 213,9·1000/100000 = 2,139 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 928,4·1000/117000 = 7,935 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 10,07 mm

Cevap

δ = 10,07 mm

3.Millerin burulması

Cevap: G = 26 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2,66·π/180 = 0,04643 rad

Kayma modülü

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·300/(4970·0,04643) = 26003 MPa

G = 26 GPa

Cevap

G = 26 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 27,41 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 191 N·m = 190986 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·80·0,5904)) = 27,41 mm

d_i = 0,8·27,41 = 21,93 mm

Cevap

d_o = 27,41 mm

Dolu bir mil d = 22,99 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 3 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 30 kN, R₂ = 45 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 60, M_D = 67,5 kN·m, M_E = 60, M_F = 37,5, M_G = 0

Cevap

İşaret D: M_D = 67,5 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 4 m)

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 18,67 kN, R₂ = 100,3 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −10, M_C = −5,333, M_D = −8,667, M_E = −70 kN·m, M_F = −35, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −70 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 55,47 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (30000·75 − 1963·60)/(30000 − 1963) = 76,05 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

200·150³/12 + 30000·−1,051² = 56,28 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·50⁴/64 + 1963·−16,05² = 0,8126 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 55,47 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 55,47 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_alt = 49,1 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

gövde: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·192,5 + 3240·90)/10740 = 161,6 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 300·25³/12 + 7500·(192,5 − 161,6)² = 7,562 × 10⁶ mm⁴

gövde: 18·180³/12 + 3240·(90 − 161,6)² = 2,535 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,562 × 10⁶ + 2,535 × 10⁷ = 3,291 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 161,6 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·161,6/3,291 × 10⁷ = 49,1 MPa

Cevap

σ_alt = 49,1 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 75,13 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·20, 0 − 70) = 150,3°

Elemandaki açı

θ_p = 75,13°

Cevap

θ_p = 75,13°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 8,051 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = −10 + 40·0,6428 + −10·0,766 = 8,051 MPa

Cevap

σ_θ = 8,051 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 11,41 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 11,41 mm

Cevap

δ_max = 11,41 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 183,8 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·12,5) = 7,766 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·7,766 × 10⁷/150)^1/3 = 183,8 mm

Cevap

h_req = 183,8 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 5,426 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4000² = 5426 N = 5,426 kN

Cevap

P_cr = 5,426 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 50,76 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/15 = 116,7

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/116,7² = 50,76 MPa

Cevap

σ_cr = 50,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials