Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

alüminyum çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 115 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 80 kNparça 1: Ø35 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1,5 m, bakır (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 300 dev/dk’da 10 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 10 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 2 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. P₁ yükünün altındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mP₁ = 30 kN @ 1 mP₂ = 30 kN @ 6 mmesnetler x = 0 ve x = 4 m konumlarında

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 1 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 35 kN @ 3 mw = 6 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 1 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

120 mm × 200 mm boyutlarındaki bir levhada, 80 mm genişliğinde ve 40 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 120 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 120 mmh = 200 mmkesik: 80 × 40 mmdelik merkezi: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 60 MPa ve σᵧ = 90 MPa’dır. En büyük asal gerilme 125 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 60 MPaσ_y = 90 MPaσ₁ = 125 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 350 MPa’dır. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = −50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 21 kNw = 20 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 6 kNw = 15 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 20918 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 115·1000/78,54 = 1464 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1464/70000 = 0,02092 = 20918 µε

Cevap

ε = 20918 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 6,348 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 83,15 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 83,15·1500/100000 = 1,247 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 397,9·1500/117000 = 5,101 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,348 mm

Cevap

δ = 6,348 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,8979 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(26000·613592) = 0,01567 rad

φ = 0,01567·180/π = 0,8979°

Cevap

φ = 0,8979°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 42,9 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Polar atalet momenti

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·20/148384 = 42,9 MPa

Cevap

τ_max = 42,9 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 7,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1 + 30·6

R_B = 210/4 = 52,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 52,5 = 7,5 kN

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun

M_x = R_A·1 = 7,5·1 = 7,5 kN·m

Cevap

M_x = 7,5 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 17,75 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·3 + 6·4·2

R_B = 153/4 = 38,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 38,25 = 20,75 kN

x = 1 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 20,75·1 − 6·1·0,5 = 17,75 kN·m

Cevap

M_x = 17,75 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 30,01 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

gövde: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·212,5 + 2400·100)/8400 = 180,4 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 240·25³/12 + 6000·(212,5 − 180,4)² = 6,511 × 10⁶ mm⁴

gövde: 12·200³/12 + 2400·(100 − 180,4)² = 2,35 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,511 × 10⁶ + 2,35 × 10⁷ = 3,001 × 10⁷ mm⁴ = 30,01 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 30,01 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 78,1 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (24000·100 − 3200·120)/(24000 − 3200) = 96,92 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·200³/12 + 24000·3,077² = 80,23 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

80·40³/12 + 3200·23,08² = 2,131 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 78,1 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 78,1 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 47,7 MPa

Gerekli yarıçap

C = (60 + 90)/2 = 75 MPa

R = σ₁ − C = 125 − 75 = 50 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 15²) = 47,7 MPa

Cevap

τ_xy = 47,7 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 3,5

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = −50 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 0 MPa, σ₂ = −100 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 100 MPa

n = 350/100 = 3,5

Cevap

n = 3,5

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 21,34 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 21000 N, w = 20 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(3EI) = 21000·1500³/(3·1,7 × 10¹²) = 13,9 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 7,445 mm

Toplayın

δ = 13,9 + 7,445 = 21,34 mm

Cevap

δ = 21,34 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 16,39 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 6000 N, w = 15 N/mm, L = 5000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·5000³/(48·8,4 × 10¹²) = 1,86 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 14,53 mm

Toplayın

δ_max = 1,86 + 14,53 = 16,39 mm

Cevap

δ_max = 16,39 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 4,094 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/3000² = 4094 N = 4,094 kN

Cevap

P_cr = 4,094 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 87,73 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/5 = 150

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Cevap

σ_cr = 87,73 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Mukavemet: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Millerin burulması

Yöntem

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Yöntem

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Yöntem

Kiriş sehimi

Kolon burkulması

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Gerilme

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

Cevap

İki parçada aynı kuvvet

Parça uzamalarını toplayın

Cevap

Polar atalet momenti

Burulma açısı

Cevap

Tork

Polar atalet momenti

En büyük kayma gerilmesi

Cevap

Mesnet tepkileri

P1 altından kesin ve sol parçayı tutun

Cevap

Mesnet tepkileri

x = 1 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Cevap

İki dikdörtgene ayırın

Ağırlık merkezi

Paralel eksen teoremi

Cevap

Ağırlık merkezi

Tam levha, ȳ’ye göre

Delik, ȳ’ye göre

Çıkarın

Cevap

Gerekli yarıçap

Kayma gerilmesi

Cevap

Asal gerilmeler

Tresca

Cevap

Tutarlı birimler

Her yük tek başına

Toplayın

Cevap

Tutarlı birimler

Her yük tek başına

Toplayın

Cevap

En küçük atalet momenti

Burkulma boyu

Kritik yük

Cevap

En küçük atalet momenti

Atalet yarıçapı ve narinlik

Kritik gerilme

Cevap

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun