Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 15 kNd = 12 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 20 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 160 MPa), bronz malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 50 mm, E = 110 GPa, izin verilen gerilme 60 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaboru: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

25 mm çaplı dolu bir alüminyum mil A’da ankastredir. A’dan 1,2 m uzaklıktaki B’de 200 N·m tork, ondan 1 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 750 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 25 mmT_B = 200 N·mT_C = 750 N·mAB = 1,2 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

35 kN @ 6 m12 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 4 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP = 25 kN @ 4 mw = 2 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 4 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Dairesel bir borunun dış çapı D = 180 mm ve iç çapı d = 168 mm’tür. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

D = 180 mmd = 168 mm

r = mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

100 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, 60 mm genişliğinde ve 50 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 168 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 100 mmh = 240 mmkesik: 60 × 50 mmdelik merkezi: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 140 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 140 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 800 mm ve et kalınlığı 5 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 1,5 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 25° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σ_n değerini bulun.

D = 800 mmt = 5 mmp = 1,5 MPaα = 25°

σ_n = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (çelik)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 663,1 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/113,1 = 132,6 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 132,6/200000 = 0,0006631 = 663,1 µε

Cevap

ε = 663,1 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 387,7 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·5890 = 7,108 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0008, 0,0005455) = 0,0005455 (bronz)

En büyük yük

P_max = 0,0005455·7,108 × 10⁸ = 387701 N = 387,7 kN

Cevap

P_max = 387,7 kN

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 2,394 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(39000·613592) = 0,04179 rad

φ = 0,04179·180/π = 2,394°

Cevap

φ = 2,394°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 244,5 MPa

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 200 = 550 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İç torku en büyük olan parçada gerilme en büyüktür (aynı çap).

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·25³) = 244,5 MPa

Cevap

τ_max = 244,5 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 6 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 89,5 kN, R₂ = 89,5 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 155, M_C = 262, M_D = 321 kN·m, M_E = 262, M_F = 155, M_G = 0

Cevap

İşaret D: M_D = 321 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 24 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·4 + 2·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 25 = 10 kN

x = 4 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 10·4 − 2·4·2 = 24 kN·m

Cevap

M_x = 24 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 61,55 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

A = π(D² − d²)/4 = 3280 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,243 × 10⁷ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(1,243 × 10⁷/3280) = 61,55 mm

Cevap

r = 61,55 mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 106,7 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (24000·120 − 3000·168)/(24000 − 3000) = 113,1 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

100·240³/12 + 24000·6,857² = 116,3 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

60·50³/12 + 3000·54,86² = 9,653 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 106,7 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 106,7 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 99,62 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((140 − −50)/2)² + 30²) = 99,62 MPa

Cevap

τ_max = 99,62 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_n = 109,3 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1,5·400/5 = 120 MPa

σ_a = pr/(2t) = 60 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σ_n = 60·sin²25° + 120·cos²25° = 109,3 MPa

Cevap

σ_n = 109,3 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 8,889 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·8000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 8,889 mm

Cevap

δ_max = 8,889 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 106,5 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·13,89) = 1,065 × 10⁸ mm⁴

I_req = 106,5 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 106,5 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 40,04 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1400² = 40043 N = 40,04 kN

Cevap

P_cr = 40,04 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 17,27 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/7,5 = 200

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Cevap

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials