Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

alüminyum çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 30 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 55 kNparça 1: Ø40 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1,5 m, bakır (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md = 50 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1450 rpm’de 5 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,5 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 75 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 5 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 2 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti M_A değerini A ankastre mesnedinde bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 2 mP = 45 kN @ 2 mw = 10 kN/m, 0 ile 2 m arasında

M_A = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 6 mP = 80 kN @ 3,5 mw = 4 kN/m, 0 ile 6 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 100 × 16 mm üst başlığı, 300 mm yüksekliğinde ve 12 mm kalınlığında gövdesi ve 270 × 22 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 100 × 16 mmgövde: 12 × 300 mmalt başlık: 270 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −20 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 15° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = −20 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 300 MPa’dır. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 110 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 9 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş B mesnedinden b = 1 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Kirişin en büyük sehimi δ_max değerini bulun.

P = 20 kNb = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 150 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 150 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1364 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 30·1000/314,2 = 95,49 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 95,49/70000 = 0,001364 = 1364 µε

Cevap

ε = 1364 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 2,901 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 43,77 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 43,77·1500/100000 = 0,6565 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 175,1·1500/117000 = 2,244 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,901 mm

Cevap

δ = 2,901 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 2,873 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(39000·613592) = 0,05015 rad

φ = 0,05015·180/π = 2,873°

Cevap

φ = 2,873°

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 13,36 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 32,93 N·m = 32929 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·32929/(π·75·0,9375)) = 13,36 mm

d_i = 0,5·13,36 = 6,68 mm

Cevap

d_o = 13,36 mm

Dolu bir mil d = 13,08 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_A = −110 kN·m

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −45·2 = −90 kN·m

w: −10·2²/2 = −20 kN·m

M_A = −90 − 20 = −110 kN·m

Cevap

M_A = −110 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 134,2 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 80·3,5 + 4·6·3

R_B = 352/6 = 58,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 104 − 58,67 = 45,33 kN

V = 0 nerede?

V(3,5⁻) = R_A − w·3,5 = 31,33 kN

V(3,5⁺) = 31,33 − 80 = −48,67 kN

Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

M_max = R_A·3,5 − w·3,5²/2 = 45,33·3,5 − 4·3,5²/2 = 134,2 kN·m

Cevap

M_max = 134,2 kN·m

A’dan x = 3,5 m uzaklıkta oluşur.

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 3,579 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

gövde: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·110 + 1000·50)/3800 = 94,21 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 140·20³/12 + 2800·(110 − 94,21)² = 791394 mm⁴

gövde: 10·100³/12 + 1000·(50 − 94,21)² = 2,788 × 10⁶ mm⁴

I_x = 791394 + 2,788 × 10⁶ = 3,579 × 10⁶ mm⁴ = 3,579 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 3,579 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 176,8 × 10⁶ mm⁴

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 1600 mm², y = 330 mm

gövde: A = 3600 mm², y = 172 mm

alt başlık: A = 5940 mm², y = 11 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1600·330 + 3600·172 + 5940·11)/11140 = 108,8 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 100·16³/12 + 1600·221,2² = 7,829 × 10⁷ mm⁴

gövde: 12·300³/12 + 3600·63,15² = 4,136 × 10⁷ mm⁴

alt başlık: 270·22³/12 + 5940·97,85² = 5,711 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,829 × 10⁷ + 4,136 × 10⁷ + 5,711 × 10⁷

I_x = 1,768 × 10⁸ mm⁴ = 176,8 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 176,8 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = −106 MPa

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = −50 − 30·0,866 − 60·0,5 = −106 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 5,981 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −100 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = −106 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 2,121

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 60 MPa, R = 70,71 MPa

σ₁ = 130,7 MPa, σ₂ = −10,71 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 141,4 MPa

n = 300/141,4 = 2,121

Cevap

n = 2,121

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 2,857 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 9000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(3EI) = 9000·2000³/(3·1,12 × 10¹³) = 2,143 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 0,7143 mm

Toplayın

δ = 2,143 + 0,7143 = 2,857 mm

Cevap

δ = 2,857 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 11,97 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 20000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

En büyük değerin konumu

Uzun parçadaki eğimi sıfıra eşitlemek konumu verir.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

En büyük sehim

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 11,97 mm

Cevap

δ_max = 11,97 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 46,06 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/2000² = 46058 N = 46,06 kN

Cevap

P_cr = 46,06 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 58,67 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·150000 = 375000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 58,67 mm

Cevap

d = 58,67 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 119,3, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials