Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 25 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 20 kNparça 1: Ø30 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir mil 250 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,8 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 60 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

T = 250 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 50 MPa değerini aşmadan 1800 dev/dk’da 10 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 10 kWN = 1800 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 1,5 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti M_x değerini A ankastre mesnedinden x = 1 m uzaklıktaki kesitte bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 3 mP = 45 kN @ 1,5 mw = 4 kN/m, 0 ile 3 m arasındax = 1 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

45 kN @ 0 m35 kN @ 12 m60 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

120 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 90 mm yukarıda olan 60 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 120 mmh = 300 mmd = 60 mmdelik merkezi: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 20 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σ_alt değerini bulun.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmM = 20 kN·m

σ_alt = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 60 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 60 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 400 mm ve et kalınlığı 6 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 1,5 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 55° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişi boyunca etkiyen kayma gerilmesinin büyüklüğü |τ_n| değerini bulun.

D = 400 mmt = 6 mmp = 1,5 MPaα = 55°

|τ_n| = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 22 kNw = 2 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (çelik)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 120 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 120 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 254,6 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 25·1000/490,9 = 50,93 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 50,93/200000 = 0,0002546 = 254,6 µε

Cevap

ε = 254,6 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 176,8 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 28,29 MPa

σ₂ = 176,8 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 176,8 MPa

Cevap

σ_max = 176,8 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: d_o = 33 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·60·0,5904)) = 33 mm

d_i = 0,8·33 = 26,4 mm

Cevap

d_o = 33 mm

Dolu bir mil d = 27,69 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 17,55 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 10000/188,5 = 53,05 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·53052/(π·50)) = 17,55 mm

Cevap

d = 17,55 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = −30,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −45·0,5 = −22,5 kN·m

w: −4·2²/2 = −8 kN·m

M_x = −22,5 − 8 = −30,5 kN·m

Cevap

M_x = −30,5 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 56,67 kN, R₂ = 83,33 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −90, M_C = −66,67, M_D = −43,33, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −140 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 258,3 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (36000·150 − 2827·90)/(36000 − 2827) = 155,1 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·300³/12 + 36000·−5,114² = 270,9 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·60⁴/64 + 2827·−65,11² = 12,62 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 258,3 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 258,3 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_alt = 172 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

gövde: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·212,5 + 1600·100)/9100 = 192,7 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 300·25³/12 + 7500·(212,5 − 192,7)² = 3,325 × 10⁶ mm⁴

gövde: 8·200³/12 + 1600·(100 − 192,7)² = 1,909 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,325 × 10⁶ + 1,909 × 10⁷ = 2,241 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 192,7 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·192,7/2,241 × 10⁷ = 172 MPa

Cevap

σ_alt = 172 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 20,82 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·40, 60 − −30) = 41,63°

Elemandaki açı

θ_p = 20,82°

Cevap

θ_p = 20,82°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: |τ_n| = 11,75 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 1,5·200/6 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

|τ_n| = (50 − 25)·sin 55°·cos 55° = 11,75 MPa

Cevap

|τ_n| = 11,75 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 2,611 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 22000 N, w = 2 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(3EI) = 22000·2000³/(3·2,4 × 10¹³) = 2,444 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·2000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 0,1667 mm

Toplayın

δ = 2,444 + 0,1667 = 2,611 mm

Cevap

δ = 2,611 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 83,71 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·5000⁴/(384·70000·13,89) = 8,371 × 10⁷ mm⁴

I_req = 83,71 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 83,71 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 2,221 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/10000² = 2221 N = 2,221 kN

Cevap

P_cr = 2,221 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 41,95 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·120000 = 300000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 41,95 mm

Cevap

d = 41,95 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 95,36, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials