Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında pirinç çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 25 kNd = 16 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 30 kNparça 1: Ø40 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø12 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

2 m uzunluğundaki dolu bir pirinç mil 2000 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 1°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 2000 N·mL = 2 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

30 mm çaplı dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. A’dan 0,5 m uzaklıktaki B’de 200 N·m tork, ondan 1,2 m daha ötedeki serbest uç C’de ise aynı yönde 250 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 30 mmT_B = 200 N·mT_C = 250 N·mAB = 0,5 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 2,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mw = 3 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

35 kN @ 0 m50 kN @ 12 m45 kN @ 4 m4 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Dairesel bir borunun dış çapı D = 90 mm ve iç çapı d = 74 mm’tür. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

D = 90 mmd = 74 mm

r = mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 100 × 18 mm üst başlığı, 150 mm yüksekliğinde ve 16 mm kalınlığında gövdesi ve 170 × 16 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 100 × 18 mmgövde: 16 × 150 mmalt başlık: 170 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −60 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = −60 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 0 MPa, σᵧ = 60 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 45° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 0 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

125 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/300 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 125 mm

h_req = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,243 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 25·1000/201,1 = 124,3 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 124,3/100000 = 0,001243 = 1243 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001243·1000 mm = 1,243 mm

Cevap

δ = 1,243 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 7,937 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 23,87 MPa

σ₂ = 265,3 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 23,87·1500/100000 = 0,3581 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 265,3·2000/70000 = 7,579 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,937 mm

Cevap

δ = 7,937 mm

3.Millerin burulması

Cevap: d = 87,96 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·2000/(39000·0,01745) = 5,876 × 10⁶ mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 87,96 mm

Cevap

d = 87,96 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 84,88 MPa

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 200 = 450 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İç torku en büyük olan parçada gerilme en büyüktür (aynı çap).

|T|_max = 450 N·m

τ_max = 16·450000/(π·30³) = 84,88 MPa

Cevap

τ_max = 84,88 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 5,625 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

x = 2,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 6·2,5 − 3·2,5·1,25 = 5,625 kN·m

Cevap

M_x = 5,625 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 55,33 kN, R₂ = 98,67 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −70, M_C = −37,33, M_D = −110,7, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −200 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 29,13 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

A = π(D² − d²)/4 = 2061 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,749 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(1,749 × 10⁶/2061) = 29,13 mm

Cevap

r = 29,13 mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 35,24 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 1800 mm², y = 175 mm

gövde: A = 2400 mm², y = 91 mm

alt başlık: A = 2720 mm², y = 8 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1800·175 + 2400·91 + 2720·8)/6920 = 80,23 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 100·18³/12 + 1800·94,77² = 1,622 × 10⁷ mm⁴

gövde: 16·150³/12 + 2400·10,77² = 4,779 × 10⁶ mm⁴

alt başlık: 170·16³/12 + 2720·72,23² = 1,425 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,622 × 10⁷ + 4,779 × 10⁶ + 1,425 × 10⁷

I_x = 3,524 × 10⁷ mm⁴ = 35,24 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 35,24 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 50,99 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((−60 − −80)/2)² + −50²) = 50,99 MPa

Cevap

τ_max = 50,99 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 60 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 30 + −30·0 + 30·1 = 60 MPa

Cevap

σ_θ = 60 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 16,92 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 16,92 mm

Cevap

δ_max = 16,92 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 245,1 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·6000⁴/(384·11000·20) = 1,534 × 10⁸ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·1,534 × 10⁸/125)^1/3 = 245,1 mm

Cevap

h_req = 245,1 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 25,63 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1750² = 25628 N = 25,63 kN

Cevap

P_cr = 25,63 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 126,3 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/10 = 125

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126,3 MPa

Cevap

σ_cr = 126,3 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials