Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

bakır çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 40 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 10 kNparça 1: Ø40 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1 m, bakır (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir alüminyum mil (dış çap 50 mm, iç çap 35 mm, uzunluk 1 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 400 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

40 mm çaplı dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. A’dan 0,8 m uzaklıktaki B’de 250 N·m tork, ondan 0,5 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 1500 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısının büyüklüğü φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 40 mmT_B = 250 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0,8 mBC = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

10 kN @ 6 m55 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mP = 40 kN @ 5 mw = 2 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 5 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

120 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 90 mm yukarıda olan 50 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 120 mmh = 300 mmd = 50 mmdelik merkezi: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

100 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, 60 mm genişliğinde ve 40 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 195 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 100 mmh = 300 mmkesik: 60 × 40 mmdelik merkezi: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −30 MPa ve σᵧ = 10 MPa’dır. En büyük asal gerilme 60 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = −30 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 60 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

20 mm çaplı dolu bir mil, 400 N·m tork ile birlikte 100 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 20 mmM = 100 N·mT = 400 N·m

σ₁ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 3 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 26 kNa = 3 mL = 4 mE = 200 GPa (çelik)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 10 kNw = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (çelik)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1700 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 40·1000/201,1 = 198,9 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 198,9/117000 = 0,0017 = 1700 µε

Cevap

ε = 1700 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,9262 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 7,958 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 7,958·1500/70000 = 0,1705 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 88,42·1000/117000 = 0,7557 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,9262 mm

Cevap

δ = 0,9262 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 1,89 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Burulma açısı

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1000/(26000·466269) = 0,033 rad

φ = 0,033·180/π = 1,89°

Cevap

φ = 1,89°

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 10,23 °

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 250 = 1250 N·m

Her parçanın burulması

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1,25 × 10⁶·800/(39000·251327) = 0,102 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·500/(39000·251327) = 0,07652 rad

C ucunun burulması

φ_C = 0,102 + 0,07652 = 0,1785 rad → |φ_C| = 10,23°

Cevap

φ_C = 10,23°

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: C (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 41,67 kN, R₂ = 23,33 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 83,33, M_C = 166,7 kN·m, M_D = 140, M_E = 93,33, M_F = 46,67, M_G = 0

Cevap

İşaret C: M_C = 166,7 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 125 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·5 + 2·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

x = 5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 30·5 − 2·5·2,5 = 125 kN·m

Cevap

M_x = 125 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 262,2 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (36000·150 − 1963·90)/(36000 − 1963) = 153,5 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·300³/12 + 36000·−3,461² = 270,4 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·50⁴/64 + 1963·−63,46² = 8,214 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 262,2 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 262,2 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 219,4 × 10⁶ mm⁴

Ağırlık merkezi

ȳ = (30000·150 − 2400·195)/(30000 − 2400) = 146,1 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

100·300³/12 + 30000·3,913² = 225,5 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

60·40³/12 + 2400·48,91² = 6,062 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 219,4 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 219,4 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 67,08 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (−30 + 10)/2 = −10 MPa

R = σ₁ − C = 60 − (−10) = 70 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 20²) = 67,08 MPa

Cevap

τ_xy = 67,08 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 326,1 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·20³) = 127,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·20³) = 254,6 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 63,66 MPa

R = √(63,66² + 254,6²) = 262,5 MPa

σ₁ = C + R = 326,1 MPa

σ₂ = C − R = −198,8 MPa

Cevap

σ₁ = 326,1 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 2,708 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 26000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 26000·3000²·1000²/(3·7,2 × 10¹²·4000) = 2,708 mm

Cevap

δ_P = 2,708 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 47,06 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 10000 N, w = 20 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 10000·4000³/(48·1,7 × 10¹²) = 7,843 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 39,22 mm

Toplayın

δ_max = 7,843 + 39,22 = 47,06 mm

Cevap

δ_max = 47,06 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 131,6 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2000² = 131595 N = 131,6 kN

Cevap

P_cr = 131,6 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 1,079 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/15 = 800

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1,079 MPa

Cevap

σ_cr = 1,079 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials