Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında pirinç çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 35 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 55 kNparça 1: Ø25 mm, 0,5 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir çelik mil (dış çap 60 mm, iç çap 36 mm, uzunluk 2 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 750 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 750 N·md_o = 60 mmd_i = 36 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 75 MPa değerini aşmadan 1500 dev/dk’da 5 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 5 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

25 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

55 kN @ 0 m30 kN @ 6 m50 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Simetrik bir I kesitin başlıkları 150 mm genişliğinde ve 16 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 260 mm ve gövdesi 6 mm kalınlığındadır. Yatay ağırlık merkezi ekseni x’e göre eğilme için elastik kesit modülü S_x değerini bulun.

B = 150 mmH = 260 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

150 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, 40 mm genişliğinde ve 30 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 84 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 150 mmh = 240 mmkesik: 40 × 30 mmdelik merkezi: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 120 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 120 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

50 mm çaplı dolu bir mil, 400 N·m tork ile birlikte 500 N·m eğilme momenti taşıyor. Eğilme gerilmesinin çekme ve en büyük olduğu üst yüzeyde en büyük asal gerilme σ₁ değerini bulun.

d = 50 mmM = 500 N·mT = 400 N·m

σ₁ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (çelik)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Açıklık ortasında P tekil yükü taşır. EI sabittir. Ankastre uçtaki eğilme momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

L = 8 mP = 35 kN @ 4 m

M_A = kN·m

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,671 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 35·1000/314,2 = 111,4 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 111,4/100000 = 0,001114 = 1114 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,001114·1500 mm = 1,671 mm

Cevap

δ = 1,671 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 486,3 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 112 MPa

σ₂ = 486,3 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 486,3 MPa

Cevap

σ_max = 486,3 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,9701 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Burulma açısı

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·2000/(80000·1,107 × 10⁶) = 0,01693 rad

φ = 0,01693·180/π = 0,9701°

Cevap

φ = 0,9701°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 12,93 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·31831/(π·75)) = 12,93 mm

Cevap

d = 12,93 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 6 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 72,5 kN, R₂ = 72,5 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 125, M_C = 210, M_D = 255 kN·m, M_E = 210, M_F = 125, M_G = 0

Cevap

İşaret D: M_D = 255 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 4 m)

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 70 kN, R₂ = 65 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −55, M_C = −40, M_D = −25, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −60 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: S_x = 595,9 × 10³ mm³

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır.

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − t_w) genişliğinde ve h_w = H − 2t_f yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

h_w = 260 − 2·16 = 228 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·260³ − 144·228³)/12

I_x = 7,747 × 10⁷ mm⁴

Kesit modülü

c = H/2 = 130 mm

S_x = I/c = 7,747 × 10⁷/130

S_x = 595937 mm³ = 595,9 × 10³ mm³

Cevap

S_x = 595,9 × 10³ mm³

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 171,1 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (36000·120 − 1200·84)/(36000 − 1200) = 121,2 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·240³/12 + 36000·−1,241² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

40·30³/12 + 1200·−37,24² = 1,754 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 171,1 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 171,1 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 90,14 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((120 − −50)/2)² + 30²) = 90,14 MPa

Cevap

τ_max = 90,14 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ₁ = 46,46 MPa

Yüzeydeki gerilmeler

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·50³) = 40,74 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·50³) = 16,3 MPa

Mohr dairesi

C = σ/2 = 20,37 MPa

R = √(20,37² + 16,3²) = 26,09 MPa

σ₁ = C + R = 46,46 MPa

σ₂ = C − R = −5,717 MPa

Cevap

σ₁ = 46,46 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 2,906 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 2,906 mm

Cevap

δ_max = 2,906 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: M_A = 52,5 kN·m

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Ankastre uçtaki moment

Yüklerin ve mesnet kuvvetinin A’ya göre momentleri.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 140 − 87,5 = 52,5 kN·m

Cevap

M_A = 52,5 kN·m

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 70,32 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2500² = 70322 N = 70,32 kN

Cevap

P_cr = 70,32 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 4,318 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Cevap

σ_cr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials