Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında bakır çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 90 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 120 kNparça 1: Ø40 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø12 mm, 2 m, alüminyum (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 300 dev/dk’da 20 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 20 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

45 kN @ 5 m10 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

60 kN @ 0 m40 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Simetrik bir I kesitin başlıkları 150 mm genişliğinde ve 18 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 320 mm ve gövdesi 14 mm kalınlığındadır. Yatay ağırlık merkezi ekseni x’e göre atalet momenti I_x değerini bulun.

B = 150 mmH = 320 mmt_f = 18 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 10 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 10 kN·m

σ_üst = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 30 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa, σ_z = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τ_abs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σ_x = 30 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 60 MPa, σᵧ = −10 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 50° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 60 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (çelik)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 95 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 95 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 24,49 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 90·1000/78,54 = 1146 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1146/117000 = 0,009794 = 9794 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,009794·2500 mm = 24,49 mm

Cevap

δ = 24,49 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 1061 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 95,49 MPa

σ₂ = 1061 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 1061 MPa

Cevap

σ_max = 1061 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 4,676 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(39000·15708) = 0,08162 rad

φ = 0,08162·180/π = 4,676°

Cevap

φ = 4,676°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 43,93 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Polar atalet momenti

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·25/362265 = 43,93 MPa

Cevap

τ_max = 43,93 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: F (x = 5 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 15,83 kN, R₂ = 39,17 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 15,83, M_C = 21,67, M_D = 27,5, M_E = 33,33, M_F = 39,17 kN·m, M_G = 0

Cevap

İşaret F: M_F = 39,17 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 53,33 kN, R₂ = 46,67 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −120, M_C = −133,3, M_D = −146,7, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −160 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 150 × 10⁶ mm⁴

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır.

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − t_w) genişliğinde ve h_w = H − 2t_f yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

h_w = 320 − 2·18 = 284 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·320³ − 136·284³)/12

I_x = 1,5 × 10⁸ mm⁴ = 150 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 150 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 8,576 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

gövde: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·275 + 4160·130)/11360 = 221,9 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 240·30³/12 + 7200·(275 − 221,9)² = 2,084 × 10⁷ mm⁴

gövde: 16·260³/12 + 4160·(130 − 221,9)² = 5,857 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,084 × 10⁷ + 5,857 × 10⁷ = 7,941 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 290 − 221,9 = 68,1 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·68,1/7,941 × 10⁷ = 8,576 MPa

Cevap

σ_üst = 8,576 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_abs = 69,46 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σ_max − σ_min)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

Düzlem içi asal gerilmeler

C = −5 MPa, R = √(35² + (−60)²) = 69,46 MPa

σ₁ = 64,46 MPa, σ₂ = −74,46 MPa, σ_z = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(138,9, 64,46, 74,46)/2 = 69,46 MPa

Cevap

τ_abs = 69,46 MPa

Burada σ₁ ve σ₂ zıt işaretlidir, bu yüzden düzlem içi en büyük değer R aynı zamanda mutlak en büyük değerdir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 28,77 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 25 + 35·−0,1736 + 10·0,9848 = 28,77 MPa

Cevap

σ_θ = 28,77 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 44,44 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 44,44 mm

Cevap

δ_max = 44,44 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 27,12 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·3000⁴/(384·70000·8,333) = 2,712 × 10⁷ mm⁴

I_req = 27,12 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 27,12 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 32,75 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/3000² = 32752 N = 32,75 kN

Cevap

P_cr = 32,75 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 76,14 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·95000 = 285000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 76,14 mm

Cevap

d = 76,14 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 105,1, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials