Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 30 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) bronz malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 50 mm, uzunluk 300 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,2 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) ile bronz malzemeden yapılmış bir kesim (çap 50 mm, uzunluk 400 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 30 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 100 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir pirinç mil 500 rpm’de 20 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 75 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,75° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 2,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mw = 3 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 2,5 m çıkma yapar. Tüm A–C boyunca düzgün yayılı w yükü etkir. A’dan mesnetler arasındaki dönüm noktasına (eğilme momentinin işaret değiştirdiği yere) olan uzaklık x_c değerini bulun.

L = 8,5 mw = 10 kN/m, 0 ile 8,5 m arasındamesnetler x = 0 ve x = 6 m konumlarında

x_c = m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 160 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 90 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 14 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinin alt kenardan yüksekliği ȳ değerini bulun.

b = 160 mmh = 90 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 170 × 24 mm üst başlığı, 230 mm yüksekliğinde ve 14 mm kalınlığında gövdesi ve 220 × 14 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 170 × 24 mmgövde: 14 × 230 mmalt başlık: 220 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 50 MPa, σᵧ = −10 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 50 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 80 MPa, σᵧ = 110 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 20° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Açıklık ortasında P tekil yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki R_B değerini bulun.

L = 6 mP = 55 kN @ 3 m

R_B = kN

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 35,5 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·1963) = 1,389 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,2/5,633 × 10⁻⁶ = 35504 N = 35,5 kN

Cevap

P = 35,5 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 8,604 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 30000·539961/958840 = 16894 N

Gerilme

σ₂ = 16894/1963 = 8,604 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 8,604 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 1,077 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(26000·613592) = 0,0188 rad

φ = 0,0188·180/π = 1,077°

Cevap

φ = 1,077°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 52,54 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Dayanım için çap

T = 382 N·m = 381972 N·mm

d_τ = ∛(16·381972/(π·75)) = 29,6 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·381972/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 52,54 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(29,6, 52,54) = 52,54 mm

Cevap

d = 52,54 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 9,375 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·5·2,5

R_B = 37,5/5 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7,5 = 7,5 kN

x = 2,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 7,5·2,5 − 3·2,5·1,25 = 9,375 kN·m

Cevap

M_x = 9,375 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: x_c = 4,958 m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Çıkmadaki yük dahil tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·8,5 = 85 kN, x̄ = 4,25 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·8,5·4,25

R_B = 361,3/6 = 60,21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 60,21 = 24,79 kN

Sıfır moment

Mesnetler arasında M(x) = R_A·x − w·x²/2. x = 0 dışında x = 2R_A/w’de sıfırdır.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·24,79/10 = 4,958 m

Cevap

x_c = 4,958 m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: ȳ = 28,92 mm

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A₁ = 160·14 = 2240 mm², y₁ = 7 mm

iki kol: A₂ = 2·14·76 = 2128 mm², y₂ = 14 + 76/2 = 52 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (2240·7 + 2128·52)/4368 = 28,92 mm

Cevap

ȳ = 28,92 mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 124,1 × 10⁶ mm⁴

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 4080 mm², y = 256 mm

gövde: A = 3220 mm², y = 129 mm

alt başlık: A = 3080 mm², y = 7 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (4080·256 + 3220·129 + 3080·7)/10380 = 142,7 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 170·24³/12 + 4080·113,3² = 5,255 × 10⁷ mm⁴

gövde: 14·230³/12 + 3220·13,72² = 1,48 × 10⁷ mm⁴

alt başlık: 220·14³/12 + 3080·135,7² = 5,678 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,255 × 10⁷ + 1,48 × 10⁷ + 5,678 × 10⁷

I_x = 1,241 × 10⁸ mm⁴ = 124,1 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 124,1 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 29,52 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·50, 50 − −10) = 59,04°

Elemandaki açı

θ_p = 29,52°

Cevap

θ_p = 29,52°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = 40,28 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −−15·0,6428 + 40·0,766 = 40,28 MPa

Cevap

τ_θ = 40,28 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 1,009 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 1,009 mm

Cevap

δ_max = 1,009 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: R_B = 17,19 kN

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·55/16 = 17,19 kN

Cevap

R_B = 17,19 kN

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 228,5 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/750² = 228463 N = 228,5 kN

Cevap

P_cr = 228,5 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 4,318 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Cevap

σ_cr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials