Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 55 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 70 kNparça 1: Ø25 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1 m, bakır (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1500 dev/dk’da 50 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_o = 80 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 1 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mw = 10 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 1 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş, açıklığının bir kısmında düzgün yayılı yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 5 mw = 8 kN/m, 2 ile 4 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

İçi boş dikdörtgen (kutu) bir kesitin dış genişliği B = 120 mm, dış yüksekliği H = 250 mm ve düzgün et kalınlığı t = 10 mm’tir. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

B = 120 mmH = 250 mmt = 10 mm

r = mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 5 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σ_alt değerini bulun.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mmM = 5 kN·m

σ_alt = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −40 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa’dır (çekme pozitif). x ekseninden, kayma gerilmesinin en büyük pozitif değeri +R’ye ulaştığı düzlemin normaline olan, −90° ile 90° arasındaki θ_s açısını bulun (kayma, τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = −40 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 800 mm ve et kalınlığı 12 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 1,5 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 50° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σ_n değerini bulun.

D = 800 mmt = 12 mmp = 1,5 MPaα = 50°

σ_n = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 3,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δ_B değerini bulun.

P = 21 kNa = 3,5 mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 27 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1751 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 55·1000/314,2 = 175,1 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 175,1/100000 = 0,001751 = 1751 µε

Cevap

ε = 1751 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 6,031 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 142,6 MPa

σ₂ = 348,2 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 142,6·1500/70000 = 3,056 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 348,2·1000/117000 = 2,976 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,031 mm

Cevap

δ = 6,031 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,5699 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(80000·251327) = 0,009947 rad

φ = 0,009947·180/π = 0,5699°

Cevap

φ = 0,5699°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 3,638 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Polar atalet momenti

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3,5 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·40/3,5 × 10⁶ = 3,638 MPa

Cevap

τ_max = 3,638 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 20 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

x = 1 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 25·1 − 10·1·0,5 = 20 kN·m

Cevap

M_x = 20 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 15,36 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·2·3

R_B = 48/5 = 9,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 9,6 = 6,4 kN

Sıfır kesme kuvveti

Kesme kuvveti R_A ile başlar, yüksüz kısımlarda sabit kalır ve yükün içinde w eğimiyle azalır.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 6,4/8 = 2,8 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 6,4·2,8 − 8·0,8²/2 = 15,36 kN·m

Cevap

M_max = 15,36 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 88,53 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

b = 100 mm, h = 230 mm

A = BH − bh = 120·250 − 100·230 = 7000 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 5,486 × 10⁷ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(5,486 × 10⁷/7000) = 88,53 mm

Cevap

r = 88,53 mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_alt = 15,12 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252,5 mm

gövde: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·252,5 + 4320·120)/10320 = 197 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 240·25³/12 + 6000·(252,5 − 197)² = 1,877 × 10⁷ mm⁴

gövde: 18·240³/12 + 4320·(120 − 197)² = 4,637 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,877 × 10⁷ + 4,637 × 10⁷ = 6,514 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 197 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·197/6,514 × 10⁷ = 15,12 MPa

Cevap

σ_alt = 15,12 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_s = −76,72 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde tepe noktası (+R), asal nokta σ₁’den 90° uzaktadır; elemanda bu 45°’dir.

cos 2θ_s = −10/11,18 = −0,8944, sin 2θ_s = −5/11,18 = −0,4472

2θ_s = atan2(−5, −10) = −153,4°

Elemandaki açı

θ_s = −76,72°

kontrol: θ_s − θ_p = −76,72 − (−31,72) = −45°

Cevap

θ_s = −76,72°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_n = 35,33 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1,5·400/12 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σ_n = 25·sin²50° + 50·cos²50° = 35,33 MPa

Cevap

σ_n = 35,33 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_B = 19,43 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 21000 N, a = 3500 mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δ_P = Pa³/(3EI) = 9,379 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,00402 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 19,43 mm

Cevap

δ_B = 19,43 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 13,21 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 27000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·5000³/(48·8,4 × 10¹²) = 8,371 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 4,844 mm

Toplayın

δ_max = 8,371 + 4,844 = 13,21 mm

Cevap

δ_max = 13,21 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 248,1 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/4000² = 248050 N = 248,1 kN

Cevap

P_cr = 248,1 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 17,27 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/12,5 = 200

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Cevap

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials