Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 40 mm, uzunluk 400 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,5 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 65 kNparça 1: Ø40 mm, 1,5 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1,5 m, bakır (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir alüminyum mil (dış çap 50 mm, iç çap 38 mm, uzunluk 2,5 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 1000 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1000 N·md_o = 50 mmd_i = 38 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir pirinç mil 1450 rpm’de 10 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 50 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,5° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 10 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 2,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mw = 4 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

30 kN @ 12 m35 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

150 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 72 mm yukarıda olan 40 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmdelik merkezi: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 5 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_üst = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 90 MPa, σᵧ = −10 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 90 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −20 MPa, σᵧ = −80 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 20° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = −20 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θ_A değerini radyan cinsinden bulun.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 105 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 105 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 39,98 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1257) = 4,547 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,5/1,251 × 10⁻⁵ = 39984 N = 39,98 kN

Cevap

P = 39,98 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 574,7 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 574,7 MPa

Cevap

σ_max = 574,7 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 13,47 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Burulma açısı

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2500/(26000·408885) = 0,2352 rad

φ = 0,2352·180/π = 13,47°

Cevap

φ = 13,47°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 37,47 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

Dayanım için çap

T = 65,86 N·m = 65857 N·mm

d_τ = ∛(16·65857/(π·50)) = 18,86 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·65857/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 37,47 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(18,86, 37,47) = 37,47 mm

Cevap

d = 37,47 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 17,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

x = 2,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 12·2,5 − 4·2,5·1,25 = 17,5 kN·m

Cevap

M_x = 17,5 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: F (x = 10 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 22 kN, R₂ = 43 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 44, M_C = 18, M_D = −8, M_E = −34, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Cevap

İşaret F: M_F = −60 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 169,7 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (36000·120 − 1257·72)/(36000 − 1257) = 121,7 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·240³/12 + 36000·−1,736² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·40⁴/64 + 1257·−49,74² = 3,234 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 169,7 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 169,7 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 11,77 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

gövde: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·190 + 2520·90)/6120 = 148,8 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 180·20³/12 + 3600·(190 − 148,8)² = 6,224 × 10⁶ mm⁴

gövde: 14·180³/12 + 2520·(90 − 148,8)² = 1,552 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,224 × 10⁶ + 1,552 × 10⁷ = 2,175 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 200 − 148,8 = 51,18 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·51,18/2,175 × 10⁷ = 11,77 MPa

Cevap

σ_üst = 11,77 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 15,48 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·30, 90 − −10) = 30,96°

Elemandaki açı

θ_p = 15,48°

Cevap

θ_p = 15,48°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = −3,963 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −30·0,6428 + 20·0,766 = −3,963 MPa

Cevap

τ_θ = −3,963 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: θ_A = 0,003196 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Uç eğimi

θ_A = wL³/(24EI) = 5·3000³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,003196 rad

Cevap

θ_A = 0,003196 rad

Bu, 0,1831° eder.

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 51,14 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2000⁴/(384·11000·5,556) = 5,114 × 10⁷ mm⁴

I_req = 51,14 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 51,14 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 154,3 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/3000² = 154342 N = 154,3 kN

Cevap

P_cr = 154,3 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 54,26 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 54,26 mm

Cevap

d = 54,26 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 147,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials