Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) pirinç malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 60 mm, uzunluk 500 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,25 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 110 kNparça 1: Ø35 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø20 mm, 2 m, pirinç (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir pirinç mil (dış çap 60 mm, iç çap 42 mm, uzunluk 1,5 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 500 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 500 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 75 MPa değerini aşmadan 500 dev/dk’da 100 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 100 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. P₁ yükünün altındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP₁ = 75 kN @ 1 mP₂ = 35 kN @ 5 mmesnetler x = 0 ve x = 4 m konumlarında

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

15 kN @ 0 m35 kN @ 6 m20 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 30 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mmM = 30 kN·m

σ_üst = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 90 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 90 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 110 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 20° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 110 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 9 kNw = 12 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 30,73 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1,768 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,25/8,135 × 10⁻⁶ = 30733 N = 30,73 kN

Cevap

P = 30,73 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 350,1 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 350,1 MPa

Cevap

σ_max = 350,1 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 1,14 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Burulma açısı

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·1500/(39000·966855) = 0,01989 rad

φ = 0,01989·180/π = 1,14°

Cevap

φ = 1,14°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 50,62 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,91 × 10⁶/(π·75)) = 50,62 mm

Cevap

d = 50,62 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 47,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 75·1 + 35·5

R_B = 250/4 = 62,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 62,5 = 47,5 kN

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun

M_x = R_A·1 = 47,5·1 = 47,5 kN·m

Cevap

M_x = 47,5 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: F (x = 5 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 15 kN, R₂ = 55 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = −15, M_D = −15, M_E = −15, M_F = −35 kN·m, M_G = 0

Cevap

İşaret F: M_F = −35 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 12,76 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

gövde: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·147,5 + 2520·70)/5820 = 113,9 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 220·15³/12 + 3300·(147,5 − 113,9)² = 3,778 × 10⁶ mm⁴

gövde: 18·140³/12 + 2520·(70 − 113,9)² = 8,982 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,778 × 10⁶ + 8,982 × 10⁶ = 1,276 × 10⁷ mm⁴ = 12,76 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 12,76 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 178,9 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

gövde: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·105 + 1600·50)/4200 = 84,05 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 260·10³/12 + 2600·(105 − 84,05)² = 1,163 × 10⁶ mm⁴

gövde: 16·100³/12 + 1600·(50 − 84,05)² = 3,188 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,163 × 10⁶ + 3,188 × 10⁶ = 4,351 × 10⁶ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 110 − 84,05 = 25,95 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·25,95/4,351 × 10⁶ = 178,9 MPa

Cevap

σ_üst = 178,9 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 65,76 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((90 − −40)/2)² + −10²) = 65,76 MPa

Cevap

τ_max = 65,76 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 80,78 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 95 + 15·0,766 + −40·0,6428 = 80,78 MPa

Cevap

σ_θ = 80,78 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 11,84 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·6000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 11,84 mm

Cevap

δ_max = 11,84 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 1,255 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 9000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·2500³/(48·7,2 × 10¹²) = 0,4069 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 0,8477 mm

Toplayın

δ_max = 0,4069 + 0,8477 = 1,255 mm

Cevap

δ_max = 1,255 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 347,3 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347,3 kN

Cevap

P_cr = 347,3 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 44,22 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/10 = 125

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44,22 MPa

Cevap

σ_cr = 44,22 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Mukavemet: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Millerin burulması

Yöntem

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Yöntem

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Yöntem

Kiriş sehimi

Kolon burkulması

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Alanlar

Esneklikler

Yük

Cevap

İki parçada aynı kuvvet

En büyük gerilme

Cevap

Polar atalet momenti

Burulma açısı

Cevap

Tork

Emniyet gerilmesinden çap

Cevap

Mesnet tepkileri

P1 altından kesin ve sol parçayı tutun

Cevap

Mesnet tepkileri

Her işaretteki eğilme momenti

Cevap

İki dikdörtgene ayırın

Ağırlık merkezi

Paralel eksen teoremi

Cevap

İki dikdörtgene ayırın

Ağırlık merkezi

Paralel eksen teoremi

Eğilme gerilmesi

Cevap

Mohr dairesinin yarıçapı

Cevap

Dönüşüm denklemi

Cevap

Tutarlı birimler

Sehim

Cevap

Tutarlı birimler

Her yük tek başına

Toplayın

Cevap

En küçük atalet momenti

Burkulma boyu

Kritik yük

Cevap

En küçük atalet momenti

Atalet yarıçapı ve narinlik

Kritik gerilme

Cevap

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun