Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 25 mm, E = 200 GPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 70 mm, E = 120 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 800 mm’dir ve rijit levhalar arasında 300 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 300 kNçubuk: Ø25 mm, E = 200 GPaboru: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 150 MPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 70 mm, E = 100 GPa, izin verilen gerilme 60 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaboru: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 60 MPa değerini aşmadan 1000 dev/dk’da 20 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kWN = 1000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

50 kN @ 2 m15 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

15 kN @ 0 m10 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

200 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, 60 mm genişliğinde ve 40 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 90 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 200 mmh = 300 mmkesik: 60 × 40 mmdelik merkezi: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 60 MPa, σᵧ = −40 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −70 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 50° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = −70 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 25 kNw = 2 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki R_B değerini bulun.

L = 6 mw = 8 kN/m

R_B = kN

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,2416 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·7461 = 9,935 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 300000·800/9,935 × 10⁸ = 0,2416 mm

Cevap

δ = 0,2416 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 325,2 kN

Alanlar

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·4006 = 5,419 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,00075, 0,0006) = 0,0006 (pirinç)

En büyük yük

P_max = 0,0006·5,419 × 10⁸ = 325155 N = 325,2 kN

Cevap

P_max = 325,2 kN

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 13,86 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(26000·79522) = 0,2418 rad

φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Cevap

φ = 13,86°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 25,31 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·60)) = 25,31 mm

Cevap

d = 25,31 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: C (x = 2 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 40,83 kN, R₂ = 24,17 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 40,83, M_C = 81,67 kN·m, M_D = 72,5, M_E = 48,33, M_F = 24,17, M_G = 0

Cevap

İşaret C: M_C = 81,67 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 4 m)

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 13,33 kN, R₂ = 11,67 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = −16,67, M_D = −18,33, M_E = −20 kN·m, M_F = −10, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −20 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 10,65 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

gövde: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·135 + 1680·60)/10680 = 123,2 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 300·30³/12 + 9000·(135 − 123,2)² = 1,928 × 10⁶ mm⁴

gövde: 14·120³/12 + 1680·(60 − 123,2)² = 8,727 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,928 × 10⁶ + 8,727 × 10⁶ = 1,065 × 10⁷ mm⁴ = 10,65 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 10,65 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 440,7 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (60000·150 − 2400·90)/(60000 − 2400) = 152,5 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

200·300³/12 + 60000·−2,5² = 450,4 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

60·40³/12 + 2400·−62,5² = 9,695 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 440,7 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 440,7 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 19,33 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·40, 60 − −40) = 38,66°

Elemandaki açı

θ_p = 19,33°

Cevap

θ_p = 19,33°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = −32,9 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = −30 + −40·−0,1736 + −10·0,9848 = −32,9 MPa

Cevap

σ_θ = −32,9 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 2,578 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 25000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(3EI) = 25000·1500³/(3·1,14 × 10¹³) = 2,467 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 0,111 mm

Toplayın

δ = 2,467 + 0,111 = 2,578 mm

Cevap

δ = 2,578 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: R_B = 18 kN

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·6/8 = 18 kN

Cevap

R_B = 18 kN

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 9,922 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9,922 kN

Cevap

P_cr = 9,922 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 6,94 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/7,5 = 533,3

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Cevap

σ_cr = 6,94 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials