Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 25 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) pirinç malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 30 mm, uzunluk 500 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,25 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 120 MPa), bakır malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 50 mm, E = 120 GPa, izin verilen gerilme 60 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaboru: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir alüminyum mil (dış çap 40 mm, iç çap 30 mm, uzunluk 1,5 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 250 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 250 N·md_o = 40 mmd_i = 30 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

30 mm çaplı dolu bir alüminyum mil A’da ankastredir. A’dan 3 m uzaklıktaki B’de 1500 N·m tork, ondan 0,5 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 250 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 30 mmT_B = 1500 N·mT_C = 250 N·mAB = 3 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 4,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mw = 2 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 5 mP = 30 kN @ 3,5 mw = 2 kN/m, 0 ile 5 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

100 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 90 mm yukarıda olan 60 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 100 mmh = 300 mmd = 60 mmdelik merkezi: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 40 MPa, basınçta 100 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük pozitif eğilme momenti M_allow değerini bulun.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 70 MPa ve σᵧ = 60 MPa’dır. En büyük asal gerilme 85 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 70 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 85 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 600 mm ve et kalınlığı 8 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 0,8 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 35° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σ_n değerini bulun.

D = 600 mmt = 8 mmp = 0,8 MPaα = 35°

σ_n = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 1,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 6 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki R_B değerini bulun.

L = 6 mw = 8 kN/m

R_B = kN

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 22,43 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706,9) = 7,074 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,25/1,115 × 10⁻⁵ = 22426 N = 22,43 kN

Cevap

P = 22,43 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 686,4 kN

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·9346 = 1,373 × 10⁹ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0006, 0,0005) = 0,0005 (bakır)

En büyük yük

P_max = 0,0005·1,373 × 10⁹ = 686438 N = 686,4 kN

Cevap

P_max = 686,4 kN

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 4,81 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Burulma açısı

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·1500/(26000·171806) = 0,08395 rad

φ = 0,08395·180/π = 4,81°

Cevap

φ = 4,81°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 235,8 MPa

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 1500 = −1250 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İç torku en büyük olan parçada gerilme en büyüktür (aynı çap).

|T|_max = 1250 N·m

τ_max = 16·1,25 × 10⁶/(π·30³) = 235,8 MPa

Cevap

τ_max = 235,8 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 6,75 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

x = 4,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 6·4,5 − 2·4,5·2,25 = 6,75 kN·m

Cevap

M_x = 6,75 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 36,75 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·3,5 + 2·5·2,5

R_B = 130/5 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 26 = 14 kN

V = 0 nerede?

V(3,5⁻) = R_A − w·3,5 = 7 kN

V(3,5⁺) = 7 − 30 = −23 kN

Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

M_max = R_A·3,5 − w·3,5²/2 = 14·3,5 − 2·3,5²/2 = 36,75 kN·m

Cevap

M_max = 36,75 kN·m

A’dan x = 3,5 m uzaklıkta oluşur.

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 213,1 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (30000·150 − 2827·90)/(30000 − 2827) = 156,2 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

100·300³/12 + 30000·−6,243² = 226,2 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·60⁴/64 + 2827·−66,24² = 13,04 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 213,1 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 213,1 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 3,151 kN·m

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Ağırlık merkezi

ȳ = (4800·175 + 1280·80)/6080 = 155 mm

üst kenar: c = 190 − 155 = 35 mm

Alan atalet momenti

I = 160·30³/12 + 4800·20² + 8·160³/12 + 1280·75² = 1,221 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Pozitif moment: üst basınçta, alt çekmededir.

üst kenar: M = 100·1,221 × 10⁷/35 = 34,89 kN·m

alt kenar: M = 40·1,221 × 10⁷/155 = 3,151 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 3,151 kN·m (alt kenar)

Cevap

M_allow = 3,151 kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 19,36 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (70 + 60)/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 85 − 65 = 20 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(20² − 5²) = 19,36 MPa

Cevap

τ_xy = 19,36 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_n = 25,07 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 0,8·300/8 = 30 MPa

σ_a = pr/(2t) = 15 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σ_n = 15·sin²35° + 30·cos²35° = 25,07 MPa

Cevap

σ_n = 25,07 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 13,13 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 6000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·1500²·3500²/(3·8,4 × 10¹¹·5000) = 13,13 mm

Cevap

δ_P = 13,13 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: R_B = 18 kN

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·6/8 = 18 kN

Cevap

R_B = 18 kN

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 69,21 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1750² = 69210 N = 69,21 kN

Cevap

P_cr = 69,21 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 71,06 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/7,5 = 166,7

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166,7² = 71,06 MPa

Cevap

σ_cr = 71,06 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials