Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) bronz malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 30 mm, uzunluk 500 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,4 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) ile bakır malzemeden yapılmış bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 300 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 60 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 15 mm çaplı dolu bir numune 30 N·m torkla burulmuştur. 250 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 1,08° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 30 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 1,08°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 750 dev/dk’da 50 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 50 kWN = 750 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. P₁ yükünün altındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 9 mP₁ = 30 kN @ 4 mP₂ = 75 kN @ 9 mmesnetler x = 0 ve x = 8 m konumlarında

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

40 kN @ 12 m8 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

150 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 156 mm yukarıda olan 50 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 150 mmh = 240 mmd = 50 mmdelik merkezi: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

150 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, 60 mm genişliğinde ve 50 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 84 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 150 mmh = 240 mmkesik: 60 × 50 mmdelik merkezi: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 110 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 110 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 1200 mm ve et kalınlığı 15 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 0,5 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 20° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σ_n değerini bulun.

D = 1200 mmt = 15 mmp = 0,5 MPaα = 20°

σ_n = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (çelik)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki R_B değerini bulun.

L = 8 mw = 5 kN/m

R_B = kN

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 60 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 60 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 25,03 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·706,9) = 6,431 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,4/1,598 × 10⁻⁵ = 25032 N = 25,03 kN

Cevap

P = 25,03 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 21,42 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 120000·706,9/300 = 282743 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 60000·282743/1,121 × 10⁶ = 15140 N

Gerilme

σ₂ = 15140/706,9 = 21,42 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 21,42 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: G = 80,06 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 1,08·π/180 = 0,01885 rad

Kayma modülü

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·250/(4970·0,01885) = 80056 MPa

G = 80,06 GPa

Cevap

G = 80,06 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 29,8 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Polar atalet momenti

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·25/534071 = 29,8 MPa

Cevap

τ_max = 29,8 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 22,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·4 + 75·9

R_B = 795/8 = 99,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 99,38 = 5,625 kN

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun

M_x = R_A·4 = 5,625·4 = 22,5 kN·m

Cevap

M_x = 22,5 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 12 kN, R₂ = 92 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 8, M_C = −16, M_D = −72, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −160 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 169,8 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (36000·120 − 1963·156)/(36000 − 1963) = 117,9 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·240³/12 + 36000·2,077² = 173 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·50⁴/64 + 1963·38,08² = 3,154 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 169,8 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 169,8 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 167,9 × 10⁶ mm⁴

Ağırlık merkezi

ȳ = (36000·120 − 3000·84)/(36000 − 3000) = 123,3 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·240³/12 + 36000·−3,273² = 173,2 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

60·50³/12 + 3000·−39,27² = 5,252 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 167,9 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 167,9 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 50,99 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((110 − 10)/2)² + −10²) = 50,99 MPa

Cevap

τ_max = 50,99 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_n = 18,83 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 0,5·600/15 = 20 MPa

σ_a = pr/(2t) = 10 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σ_n = 10·sin²20° + 20·cos²20° = 18,83 MPa

Cevap

σ_n = 18,83 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 2,778 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 2,778 mm

Cevap

δ_max = 2,778 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: R_B = 15 kN

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·8/8 = 15 kN

Cevap

R_B = 15 kN

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 38,59 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38,59 kN

Cevap

P_cr = 38,59 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 75,89 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 75,89 mm

Cevap

d = 75,89 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 131,8, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Mukavemet: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Millerin burulması

Yöntem

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Yöntem

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Yöntem

Kiriş sehimi

Kolon burkulması

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Alanlar

Esneklikler

Yük

Cevap

Rijitlikler

2. kesimin payı

Gerilme

Cevap

Polar atalet momenti ve açı

Kayma modülü

Cevap

Tork

Polar atalet momenti

En büyük kayma gerilmesi

Cevap

Mesnet tepkileri

P1 altından kesin ve sol parçayı tutun

Cevap

Mesnet tepkileri

Her işaretteki eğilme momenti

Cevap

Ağırlık merkezi

Tam levha, ȳ’ye göre

Delik, ȳ’ye göre

Çıkarın

Cevap

Ağırlık merkezi

Tam levha, ȳ’ye göre

Delik, ȳ’ye göre

Çıkarın

Cevap

Mohr dairesinin yarıçapı

Cevap

Cidar gerilmeleri

Dikişe dönüştürün

Cevap

Tutarlı birimler

Sehim

Cevap

Ara mesnedi kaldırın

Mesnette uygunluk koşulu

Cevap

En küçük atalet momenti

Burkulma boyu

Kritik yük

Cevap

Gereken kritik yük

Çap için çözün

Cevap

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun