Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 95 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 60 kNparça 1: Ø25 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø16 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir alüminyum mil (dış çap 80 mm, iç çap 60 mm, uzunluk 0,8 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 1000 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1000 N·md_o = 80 mmd_i = 60 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 1000 dev/dk’da 10 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 10 kWN = 1000 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

30 kN @ 4 m35 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

40 kN @ 0 m15 kN @ 12 m45 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 180 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 70 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 16 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b = 180 mmh = 70 mmt = 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 50 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σ_alt değerini bulun.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 50 kN·m

σ_alt = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 50 MPa, σᵧ = 20 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 50 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 100 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 25° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 100 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

50 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/360 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 1 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 50 mm

h_req = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 45 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 45 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 12096 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 95·1000/78,54 = 1210 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1210/100000 = 0,0121 = 12096 µε

Cevap

ε = 12096 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 9,014 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 122,2 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 122,2·1500/70000 = 2,619 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 298,4·1500/70000 = 6,395 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 9,014 mm

Cevap

δ = 9,014 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,6413 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

Burulma açısı

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·800/(26000·2,749 × 10⁶) = 0,01119 rad

φ = 0,01119·180/π = 0,6413°

Cevap

φ = 0,6413°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 6,59 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m

Polar atalet momenti

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 95493·25/362265 = 6,59 MPa

Cevap

τ_max = 6,59 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: C (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 25,83 kN, R₂ = 39,17 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 51,67, M_C = 103,3 kN·m, M_D = 95, M_E = 86,67, M_F = 78,33, M_G = 0

Cevap

İşaret C: M_C = 103,3 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 2 m)

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 73,33 kN, R₂ = 26,67 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −80 kN·m, M_C = −13,33, M_D = −36,67, M_E = −60, M_F = −30, M_G = 0

Cevap

İşaret B: M_B = −80 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 1,804 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A₁ = 180·16 = 2880 mm², y₁ = 8 mm

iki kol: A₂ = 2·16·54 = 1728 mm², y₂ = 16 + 54/2 = 43 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (2880·8 + 1728·43)/4608 = 21,13 mm

Paralel eksen teoremi

baz: 180·16³/12 + 2880·(8 − 21,13)² = 557565 mm⁴

iki kol: 2·16·54³/12 + 1728·(43 − 21,13)² = 1,247 × 10⁶ mm⁴

I_x = 557565 + 1,247 × 10⁶

I_x = 1,804 × 10⁶ mm⁴ = 1,804 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 1,804 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_alt = 344,2 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

gövde: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·185 + 2880·90)/5080 = 131,1 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 220·10³/12 + 2200·(185 − 131,1)² = 6,4 × 10⁶ mm⁴

gövde: 16·180³/12 + 2880·(90 − 131,1)² = 1,265 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,4 × 10⁶ + 1,265 × 10⁷ = 1,905 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 131,1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·131,1/1,905 × 10⁷ = 344,2 MPa

Cevap

σ_alt = 344,2 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 52,2 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((50 − 20)/2)² + 50²) = 52,2 MPa

Cevap

τ_max = 52,2 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 73,45 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 90 + 10·0,6428 + −30·0,766 = 73,45 MPa

Cevap

σ_θ = 73,45 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 20,2 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 20,2 mm

Cevap

δ = 20,2 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 163,7 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·3500⁴/(384·11000·9,722) = 1,827 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·1,827 × 10⁷/50)^1/3 = 163,7 mm

Cevap

h_req = 163,7 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 31,98 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/1500² = 31985 N = 31,98 kN

Cevap

P_cr = 31,98 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 53,39 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 53,39 mm

Cevap

d = 53,39 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 131,1, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials