Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 90 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 50 kNparça 1: Ø35 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

60 mm çaplı dolu bir pirinç mil A’da ankastredir. A’dan 2,5 m uzaklıktaki B’de 100 N·m tork, ondan 1,2 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 250 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 60 mmT_B = 100 N·mT_C = 250 N·mAB = 2,5 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

25 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

15 kN @ 12 m40 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 140 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 200 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 12 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b = 140 mmh = 200 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 35 MPa, basınçta 120 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük pozitif eğilme momenti M_allow değerini bulun.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 70 MPa, σᵧ = 40 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünde 30° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 70 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 150 MPa, σᵧ = 10 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 35° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 150 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 85 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 85 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 34,1 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 90·1000/113,1 = 795,8 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 795,8/70000 = 0,01137 = 11368 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,01137·3000 mm = 34,1 mm

Cevap

δ = 34,1 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 159,2 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 51,97 MPa

σ₂ = 159,2 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 159,2 MPa

Cevap

σ_max = 159,2 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 7,307 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(39000·251327) = 0,1275 rad

φ = 0,1275·180/π = 7,307°

Cevap

φ = 7,307°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 5,895 MPa

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 100 = 150 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İç torku en büyük olan parçada gerilme en büyüktür (aynı çap).

|T|_max = 250 N·m

τ_max = 16·250000/(π·60³) = 5,895 MPa

Cevap

τ_max = 5,895 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 20,33 kN, R₂ = 28,67 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 18,33, M_C = 32,67, M_D = 43, M_E = 49,33 kN·m, M_F = 26,67, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = 49,33 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 22,5 kN, R₂ = 32,5 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 45, M_C = 10, M_D = −25, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −60 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 25,55 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A₁ = 140·12 = 1680 mm², y₁ = 6 mm

iki kol: A₂ = 2·12·188 = 4512 mm², y₂ = 12 + 188/2 = 106 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1680·6 + 4512·106)/6192 = 78,87 mm

Paralel eksen teoremi

baz: 140·12³/12 + 1680·(6 − 78,87)² = 8,941 × 10⁶ mm⁴

iki kol: 2·12·188³/12 + 4512·(106 − 78,87)² = 1,661 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,941 × 10⁶ + 1,661 × 10⁷

I_x = 2,555 × 10⁷ mm⁴ = 25,55 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 25,55 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 5,552 kN·m

Ağırlık merkezi

ȳ = (4400·230 + 2200·110)/6600 = 190 mm

üst kenar: c = 240 − 190 = 50 mm

Alan atalet momenti

I = 220·20³/12 + 4400·40² + 10·220³/12 + 2200·80² = 3,014 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Pozitif moment: üst basınçta, alt çekmededir.

üst kenar: M = 120·3,014 × 10⁷/50 = 72,34 kN·m

alt kenar: M = 35·3,014 × 10⁷/190 = 5,552 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 5,552 kN·m (alt kenar)

Cevap

M_allow = 5,552 kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = 99,46 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 55 − 15·0,5 − 60·(−0,866) = 99,46 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 10,54 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 110 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = 99,46 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 47,56 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 80 + 70·0,342 + −60·0,9397 = 47,56 MPa

Cevap

σ_θ = 47,56 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 19,85 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 19,85 mm

Cevap

δ_max = 19,85 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 11,51 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·1500⁴/(384·11000·4,167) = 1,151 × 10⁷ mm⁴

I_req = 11,51 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 11,51 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 913,9 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/1500² = 913852 N = 913,9 kN

Cevap

P_cr = 913,9 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 68,09 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 68,09 mm

Cevap

d = 68,09 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 205,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials