Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 10 mmAlüminyum0,5 mP = 105 kN

alüminyum çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 105 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
80 kN12300 mm400 mmØ40Ø40σ2​ = ?

çelik bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) ile pirinç malzemeden yapılmış bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 400 mm, E = 100 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 80 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ2 bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: pirinç, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.Millerin burulmasıOrta
T = 1000 N·md = 40 mmL = 3 mφ = ?

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
Td = ?

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 80 MPa değerini aşmadan 750 dev/dk’da 30 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 30 kWN = 750 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
M0​ = 30 kN·mAB6 m2 m

Basit mesnetli kiriş, A’dan x = 6 m uzaklıkta saat yönünde M0 = 30 kN·m kuvvet çifti taşır; başka yük yoktur. Kuvvet çiftinin hemen solundaki eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 8 mM0 = 30 kN·m saat yönünde, konumu 6 m
Mx = kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
50 kN30 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

50 kN @ 0 m30 kN @ 6 m60 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
120202608xboyutlar mm cinsinden

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti Ix değerini bulun.

bf = 120 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
300152208xM = 10 kN·mboyutlar mm cinsinden

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 10 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σüst değerinin büyüklüğünü bulun.

bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 8 mmhw = 220 mmM = 10 kN·m
σüst = MPa
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = −80σy​ = −50τxy​ = −10MPa

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = −80 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa, σz = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τabs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σx = −80 MPaσy = −50 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​ = 10σy​ = −20τxy​ = −60MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 10 MPa, σᵧ = −20 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 45° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.

σx = 10 MPaσy = −20 MPaτxy = −60 MPaθ = 45°
σθ = MPa
11.Kiriş sehimiOrta
w = 8 kN/mδL = 4 m

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (çelik)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Kiriş sehimiZor
w = 1,5 kN/mABδ6 m

125 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/360 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği hreq değerini bulun.

w = 1,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 125 mm
hreq = mm
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 2,5 md = 30 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
PL = 2,5 md = 20 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 19099 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 105·1000/78,54 = 1337 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1337/70000 = 0,0191 = 19099 µε

Cevap

ε = 19099 µε
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ2 = 17,36 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm
k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

2. kesimin payı

F2 = 80000·314159/1,152 × 10⁶ = 21818 N

Gerilme

σ2 = 21818/1257 = 17,36 MPa (basınç)

Cevap

σ2 = 17,36 MPa
3.Millerin burulması

Cevap: φ = 17,54 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·3000/(39000·251327) = 0,3061 rad
φ = 0,3061·180/π = 17,54°

Cevap

φ = 17,54°
4.Millerin burulması

Cevap: d = 28,97 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·381972/(π·80)) = 28,97 mm

Cevap

d = 28,97 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = −22,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. Uygulanan bir kuvvet çifti, eğilme momenti diyagramında kuvvet çiftinin büyüklüğü kadar sıçrama oluşturur.

Mesnet tepkileri

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif: RB·L − M0 = 0. Düşey denge: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 30/8 = 3,75 kN (yukarı)
RA = −RB = −3,75 kN (aşağı)

Kuvvet çiftinin hemen solundan kesin

Sol parça yalnızca RA’yı içerir.

Mx = RA·a = −3,75·6 = −22,5 kN·m

Cevap

Mx = −22,5 kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 1 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 100 kN, R2 = 40 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = −50 kN·m, MC = 0, MD = −10, ME = −20, MF = −30, MG = 0

Cevap

İşaret B: MB = −50 kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 33,64 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: Af = 120·20 = 2400 mm², yf = 260 + 20/2 = 270 mm
gövde: Aw = 8·260 = 2080 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·270 + 2080·130)/4480 = 205 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 120·20³/12 + 2400·(270 − 205)² = 1,022 × 10⁷ mm⁴
gövde: 8·260³/12 + 2080·(130 − 205)² = 2,342 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,022 × 10⁷ + 2,342 × 10⁷ = 3,364 × 10⁷ mm⁴ = 33,64 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 33,64 × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σüst = 16,44 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: Af = 300·15 = 4500 mm², yf = 220 + 15/2 = 227,5 mm
gövde: Aw = 8·220 = 1760 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·227,5 + 1760·110)/6260 = 194,5 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 300·15³/12 + 4500·(227,5 − 194,5)² = 4,995 × 10⁶ mm⁴
gövde: 8·220³/12 + 1760·(110 − 194,5)² = 1,966 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4,995 × 10⁶ + 1,966 × 10⁷ = 2,465 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 235 − 194,5 = 40,54 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·40,54/2,465 × 10⁷ = 16,44 MPa

Cevap

σüst = 16,44 MPa
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τabs = 41,51 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σmax − σmin)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

σxyCσ1​σ2​

Düzlem içi asal gerilmeler

C = −65 MPa, R = √((−15)² + (−10)²) = 18,03 MPa
σ1 = −46,97 MPa, σ2 = −83,03 MPa, σz = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(36,06, 46,97, 83,03)/2 = 41,51 MPa

Cevap

τabs = 41,51 MPa

Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σθ = −65 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dönüşüm denklemi

σθ = −5 + 15·0 + −60·1 = −65 MPa

Cevap

σθ = −65 MPa
11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 8 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 8·4000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 8 mm

Cevap

δ = 8 mm
12.Kiriş sehimi

Cevap: hreq = 236,7 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Gereken atalet momenti

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1,5·6000⁴/(384·11000·16,67) = 1,381 × 10⁸ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,381 × 10⁸/125)1/3 = 236,7 mm

Cevap

hreq = 236,7 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 17,58 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1250² = 17581 N = 17,58 kN

Cevap

Pcr = 17,58 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 16,11 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/5 = 350

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/350² = 16,11 MPa

Cevap

σcr = 16,11 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials