Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında çelik çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 40 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 110 kNparça 1: Ø35 mm, 0,5 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø20 mm, 2 m, bakır (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 750 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 300 dev/dk’da 15 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 15 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

50 kN @ 4 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 1 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP = 60 kN @ 2 mw = 12 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 1 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

200 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 144 mm yukarıda olan 60 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 200 mmh = 240 mmd = 60 mmdelik merkezi: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 120 × 24 mm üst başlığı, 300 mm yüksekliğinde ve 12 mm kalınlığında gövdesi ve 250 × 12 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 120 × 24 mmgövde: 12 × 300 mmalt başlık: 250 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 100 MPa, σᵧ = −30 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 100 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −20 MPa, σᵧ = 40 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünde 30° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = −20 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 2 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 23 kNa = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 15 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 15 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,7074 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 40·1000/706,9 = 56,59 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 56,59/200000 = 0,0002829 = 282,9 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,0002829·2500 mm = 0,7074 mm

Cevap

δ = 0,7074 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 350,1 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 350,1 MPa

Cevap

σ_max = 350,1 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 6,412 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(80000·251327) = 0,1119 rad

φ = 0,1119·180/π = 6,412°

Cevap

φ = 6,412°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 50 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Polar atalet momenti

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·20/190984 = 50 MPa

Cevap

τ_max = 50 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: C (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 63,33 kN, R₂ = 46,67 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 116,7, M_C = 213,3 kN·m, M_D = 190, M_E = 146,7, M_F = 83,33, M_G = 0

Cevap

İşaret C: M_C = 213,3 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 60 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·2 + 12·5·2,5

R_B = 270/5 = 54 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 54 = 66 kN

x = 1 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 66·1 − 12·1·0,5 = 60 kN·m

Cevap

M_x = 60 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (48000·120 − 2827·144)/(48000 − 2827) = 118,5 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

200·240³/12 + 48000·1,502² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·60⁴/64 + 2827·25,5² = 2,475 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 175,8 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 2880 mm², y = 324 mm

gövde: A = 3600 mm², y = 162 mm

alt başlık: A = 3000 mm², y = 6 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (2880·324 + 3600·162 + 3000·6)/9480 = 161,8 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 120·24³/12 + 2880·162,2² = 7,586 × 10⁷ mm⁴

gövde: 12·300³/12 + 3600·0,1519² = 2,7 × 10⁷ mm⁴

alt başlık: 250·12³/12 + 3000·155,8² = 7,29 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,586 × 10⁷ + 2,7 × 10⁷ + 7,29 × 10⁷

I_x = 1,758 × 10⁸ mm⁴ = 175,8 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 175,8 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 68,01 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((100 − −30)/2)² + 20²) = 68,01 MPa

Cevap

τ_max = 68,01 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 38,3 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 10 + −30·0,5 + −50·−0,866 = 38,3 MPa

Cevap

σ_θ = 38,3 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 7,302 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 23000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 23000·2000²·4000²/(3·1,12 × 10¹³·6000) = 7,302 mm

Cevap

δ_P = 7,302 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 1,808 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·1500⁴/(384·70000·4,167) = 1,808 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,808 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 1,808 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 77,24 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2800² = 77244 N = 77,24 kN

Cevap

P_cr = 77,24 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 40,86 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·15000 = 30000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 40,86 mm

Cevap

d = 40,86 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 293,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials