Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik bir çubuk (çap 30 mm, E = 200 GPa), alüminyum malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 80 mm, iç çap 60 mm, E = 70 GPa) içinde duruyor. İkisinin de uzunluğu 500 mm’dir ve rijit levhalar arasında 100 kN ile birlikte sıkıştırılıyor. Kısalmayı δ bulun.

P = 100 kNçubuk: Ø30 mm, E = 200 GPaboru: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 25 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile alüminyum malzemeden yapılmış bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 200 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 80 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir alüminyum mil (dış çap 60 mm, iç çap 42 mm, uzunluk 0,5 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 1000 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 1000 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 300 dev/dk’da 50 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 50 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Basit mesnetli kiriş iki tekil yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 5 mP₁ = 30 kN @ 2 mP₂ = 25 kN @ 3 m

M_max = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 3 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 35 kN @ 3 mw = 5 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 3 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 140 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 160 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 10 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinin alt kenardan yüksekliği ȳ değerini bulun.

b = 140 mmh = 160 mmt = 10 mm

ȳ = mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 30 MPa, basınçta 100 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük pozitif eğilme momenti M_allow değerini bulun.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = 40 MPa, σ_z = 0. Noktadaki mutlak en büyük kayma gerilmesi τ_abs değerini bulun (üç boyuttaki tüm düzlemler göz önüne alınarak).

σ_x = 130 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 60 MPa, σᵧ = −70 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 40° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 60 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (çelik)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

75 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/250 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 3 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 75 mm

h_req = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 0,1693 mm

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·2199 = 2,953 × 10⁸ N

Kısalma

δ = 100000·500/2,953 × 10⁸ = 0,1693 mm

Cevap

δ = 0,1693 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 63,1 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 70000·706,9/200 = 247400 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 80000·247400/443750 = 44602 N

Gerilme

σ₂ = 44602/706,9 = 63,1 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 63,1 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 1,14 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Burulma açısı

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·500/(26000·966855) = 0,01989 rad

φ = 0,01989·180/π = 1,14°

Cevap

φ = 1,14°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 85,33 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Polar atalet momenti

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,592 × 10⁶·25/466269 = 85,33 MPa

Cevap

τ_max = 85,33 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 56 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2 + 25·3

R_B = 135/5 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 27 = 28 kN

Her yükün altındaki moment

Her yükün solundaki parçayı tutun.

yük altında P₁: M = R_A·2 = 28·2 = 56 kN·m

yük altında P₂: M = R_B·2 = 27·2 = 54 kN·m

En büyük değer

M_max = 56 kN·m (yük altında P₁)

Cevap

M_max = 56 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 33,75 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·3 + 5·4·2

R_B = 145/4 = 36,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 36,25 = 18,75 kN

x = 3 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 18,75·3 − 5·3·1,5 = 33,75 kN·m

Cevap

M_x = 33,75 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: ȳ = 59,55 mm

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A₁ = 140·10 = 1400 mm², y₁ = 5 mm

iki kol: A₂ = 2·10·150 = 3000 mm², y₂ = 10 + 150/2 = 85 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1400·5 + 3000·85)/4400 = 59,55 mm

Cevap

ȳ = 59,55 mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 6,792 kN·m

Ağırlık merkezi

ȳ = (3300·227,5 + 3520·110)/6820 = 166,9 mm

üst kenar: c = 235 − 166,9 = 68,15 mm

Alan atalet momenti

I = 220·15³/12 + 3300·60,65² + 16·220³/12 + 3520·56,85² = 3,777 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Pozitif moment: üst basınçta, alt çekmededir.

üst kenar: M = 100·3,777 × 10⁷/68,15 = 55,43 kN·m

alt kenar: M = 30·3,777 × 10⁷/166,9 = 6,792 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 6,792 kN·m (alt kenar)

Cevap

M_allow = 6,792 kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_abs = 82,66 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Üç boyutta mutlak en büyük kayma gerilmesi, üç asal gerilme üzerinden (σ_max − σ_min)/2’dir; düzlem gerilmede üçüncüsü sıfırdır.

Düzlem içi asal gerilmeler

C = 125 MPa, R = √(5² + 40²) = 40,31 MPa

σ₁ = 165,3 MPa, σ₂ = 84,69 MPa, σ_z = 0

Üç dairenin en büyüğü

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(80,62, 165,3, 84,69)/2 = 82,66 MPa

Cevap

τ_abs = 82,66 MPa

Burada düzlem dışı daire belirleyicidir: mutlak en büyük değer, düzlem içi en büyük değer R’den büyüktür.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 35,83 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = −5 + 65·0,1736 + 30·0,9848 = 35,83 MPa

Cevap

σ_θ = 35,83 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 41,12 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 6·5000⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 41,12 mm

Cevap

δ = 41,12 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 182,6 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·14) = 3,806 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·3,806 × 10⁷/75)^1/3 = 182,6 mm

Cevap

h_req = 182,6 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 40,28 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1400² = 40284 N = 40,28 kN

Cevap

P_cr = 40,28 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 17,77 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/7,5 = 333,3

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333,3² = 17,77 MPa

Cevap

σ_cr = 17,77 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials