Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 12 mmBakır1,5 mP = 10 kN

bakır çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 10 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
Ø 30 mmBakır1 mØ 20 mmÇelik2 mP = 85 kN

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 85 kNparça 1: Ø30 mm, 1 m, bakır (E = 117 GPa)parça 2: Ø20 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Millerin burulmasıOrta
do​ = 30, di​ = 21 mmT = 400 N·mL = 2,5 m

İçi boş bir pirinç mil (dış çap 30 mm, iç çap 21 mm, uzunluk 2,5 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 400 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 400 N·mdo = 30 mmdi = 21 mmL = 2,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
Tdo​ = 50 mm, di​ = 38 mm

İçi boş bir mil 1450 dev/dk’da 20 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

P = 20 kWN = 1450 rpmdo = 50 mmdi = 38 mm
τmax = MPa
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
P1​ = 50 kNP2​ = 40 kNAB2 m0,5 m1,5 m

Basit mesnetli kiriş iki tekil yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 4 mP1 = 50 kN @ 2 mP2 = 40 kN @ 2,5 m
Mmax = kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 8 kN/mABC4 m1 m

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1 m çıkma yapar. Tüm A–C boyunca düzgün yayılı w yükü etkir. Mesnetler arasındaki en büyük pozitif eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 5 mw = 8 kN/m, 0 ile 5 m arasındamesnetler x = 0 ve x = 4 m konumlarında
Mmax = kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
200 mm300 mm120 mmØ60xIx​ = ?

200 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 120 mm yukarıda olan 60 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmdelik merkezi: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
150 mm200 mm70 mm30 × 20xIx​ = ?

150 mm × 200 mm boyutlarındaki bir levhada, 30 mm genişliğinde ve 20 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 70 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 150 mmh = 200 mmkesik: 30 × 20 mmdelik merkezi: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = −80σy​ = 100τxy​ = −30MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −80 MPa, σᵧ = 100 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

σx = −80 MPaσy = 100 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
30°D = 1500 mm, t = 10 mm, p = 0,5 MPap

İç çapı 1500 mm ve et kalınlığı 10 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 0,5 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 30° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişine dik etkiyen normal gerilme σn değerini bulun.

D = 1500 mmt = 10 mmp = 0,5 MPaα = 30°
σn = MPa
11.Kiriş sehimiOrta
P = 20 kNABδ2 m1 m

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 2 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δP değerini bulun.

P = 20 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Kiriş sehimiZor
w = 20 kN/mP = 3 kNδL = 2 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δmax değerini bulun.

P = 3 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (çelik)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 6 md = 60 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
PL = 3 md = 30 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 755,7 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 10·1000/113,1 = 88,42 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for bakır = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 88,42/117000 = 0,0007557 = 755,7 µε

Cevap

ε = 755,7 µε
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 3,733 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 120,3 MPa
σ2 = 270,6 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ1 = σ1L1/E1 = 120,3·1000/117000 = 1,028 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 270,6·2000/200000 = 2,706 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,733 mm

Cevap

δ = 3,733 mm
3.Millerin burulması

Cevap: φ = 24,31 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

Burulma açısı

T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 2,5 m = 2500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 400000·2500/(39000·60428) = 0,4243 rad
φ = 0,4243·180/π = 24,31°

Cevap

φ = 24,31°
4.Millerin burulması

Cevap: τmax = 8,053 MPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Polar atalet momenti

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τmax = T·(do/2)/J = 131714·25/408885 = 8,053 MPa

Cevap

τmax = 8,053 MPa
5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 80 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

ΣMA = 0: RB·4 = 50·2 + 40·2,5
RB = 200/4 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 50 = 40 kN

Her yükün altındaki moment

Her yükün solundaki parçayı tutun.

yük altında P1: M = RA·2 = 40·2 = 80 kN·m
yük altında P2: M = RB·1,5 = 50·1,5 = 75 kN·m

En büyük değer

Mmax = 80 kN·m (yük altında P1)

Cevap

Mmax = 80 kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 14,06 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Çıkmadaki yük dahil tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·4 = 8·5·2,5
RB = 100/4 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 25 = 15 kN

Sıfır kesme kuvveti

RA − w·x0 = 0 → x0 = 15/8 = 1,875 m

En büyük pozitif moment

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 15²/(2·8) = 14,06 kN·m

Cevap

Mmax = 14,06 kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 446,7 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (60000·150 − 2827·120)/(60000 − 2827) = 151,5 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

200·300³/12 + 60000·−1,484² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·60⁴/64 + 2827·−31,48² = 3,439 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 446,7 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 446,7 × 10⁶ mm⁴
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 99,43 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (30000·100 − 600·70)/(30000 − 600) = 100,6 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·200³/12 + 30000·−0,6122² = 100 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

30·20³/12 + 600·−30,61² = 0,5823 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 99,43 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 99,43 × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τmax = 94,87 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

στxyCτmax​

Mohr dairesinin yarıçapı

τmax = R = √(((−80 − 100)/2)² + −30²) = 94,87 MPa

Cevap

τmax = 94,87 MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σn = 32,81 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. İnce cidarlı silindir: çevresel gerilme σh = pr/t ve eksenel gerilme σa = pr/(2t); bunlar cidardaki asal gerilmelerdir.

Cidar gerilmeleri

r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 0,5·750/10 = 37,5 MPa
σa = pr/(2t) = 18,75 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σa), y’yi çevre boyunca (σh) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

σn = 18,75·sin²30° + 37,5·cos²30° = 32,81 MPa

Cevap

σn = 32,81 MPa
11.Kiriş sehimi

Cevap: δP = 22,45 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 20000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Yükün altındaki sehim

δP = Pa²b²/(3EIL) = 20000·2000²·1000²/(3·3,96 × 10¹¹·3000) = 22,45 mm

Cevap

δP = 22,45 mm
12.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 1,944 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 3000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(48EI) = 3000·2000³/(48·2,4 × 10¹²) = 0,2083 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 1,736 mm

Toplayın

δmax = 0,2083 + 1,736 = 1,944 mm

Cevap

δmax = 1,944 mm
13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 24,92 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/4200² = 24916 N = 24,92 kN

Cevap

Pcr = 24,92 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 8,812 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/7,5 = 280

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Cevap

σcr = 8,812 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials