Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 30 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) bronz malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 50 mm, uzunluk 500 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,3 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 300 mm, E = 200 GPa) ile alüminyum malzemeden yapılmış bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 200 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 20 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 750 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir pirinç mil 750 rpm’de 5 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 80 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,75° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 5 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

45 kN @ 8 m15 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş, açıklığının bir kısmında düzgün yayılı yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 5 mw = 12 kN/m, 2 ile 4 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Simetrik bir I kesitin başlıkları 120 mm genişliğinde ve 14 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 320 mm ve gövdesi 14 mm kalınlığındadır. Yatay ağırlık merkezi ekseni x’e göre atalet momenti I_x değerini bulun.

B = 120 mmH = 320 mmt_f = 14 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 5 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σ_alt değerini bulun.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_alt = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −20 MPa, σᵧ = 50 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = −20 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 300 MPa’dır. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 100 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 10 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

100 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/300 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 1 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 100 mm

h_req = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 58,32 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1963) = 2,315 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,3/5,144 × 10⁻⁶ = 58316 N = 58,32 kN

Cevap

P = 58,32 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 5,479 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 70000·1257/200 = 439823 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 20000·439823/1,278 × 10⁶ = 6885 N

Gerilme

σ₂ = 6885/1257 = 5,479 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 5,479 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 6,928 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(39000·79522) = 0,1209 rad

φ = 0,1209·180/π = 6,928°

Cevap

φ = 6,928°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 33,57 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Dayanım için çap

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

d_τ = ∛(16·63662/(π·80)) = 15,94 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·63662/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 33,57 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(15,94, 33,57) = 33,57 mm

Cevap

d = 33,57 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 25 kN, R₂ = 35 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 100, M_D = 120, M_E = 140 kN·m, M_F = 70, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = 140 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 23,04 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·2·3

R_B = 72/5 = 14,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 14,4 = 9,6 kN

Sıfır kesme kuvveti

Kesme kuvveti R_A ile başlar, yüksüz kısımlarda sabit kalır ve yükün içinde w eğimiyle azalır.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 9,6/12 = 2,8 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 9,6·2,8 − 12·0,8²/2 = 23,04 kN·m

Cevap

M_max = 23,04 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 107,8 × 10⁶ mm⁴

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır.

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − t_w) genişliğinde ve h_w = H − 2t_f yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

h_w = 320 − 2·14 = 292 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·320³ − 106·292³)/12

I_x = 1,078 × 10⁸ mm⁴ = 107,8 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 107,8 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_alt = 58,8 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

gövde: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·190 + 1440·90)/3840 = 152,5 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 120·20³/12 + 2400·(190 − 152,5)² = 3,455 × 10⁶ mm⁴

gövde: 8·180³/12 + 1440·(90 − 152,5)² = 9,513 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,455 × 10⁶ + 9,513 × 10⁶ = 1,297 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 152,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·152,5/1,297 × 10⁷ = 58,8 MPa

Cevap

σ_alt = 58,8 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 36,4 MPa

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((−20 − 50)/2)² + 10²) = 36,4 MPa

Cevap

τ_max = 36,4 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 2,417

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 110 MPa, R = 14,14 MPa

σ₁ = 124,1 MPa, σ₂ = 95,86 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 124,1 MPa

n = 300/124,1 = 2,417

Cevap

n = 2,417

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 3,596 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 3,596 mm

Cevap

δ = 3,596 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 104,8 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·3000⁴/(384·11000·10) = 9,588 × 10⁶ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·9,588 × 10⁶/100)^1/3 = 104,8 mm

Cevap

h_req = 104,8 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 112,8 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/1050² = 112795 N = 112,8 kN

Cevap

P_cr = 112,8 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 47,98 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Cevap

σ_cr = 47,98 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials