Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 65 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 600 mm, E = 200 GPa) ile bronz malzemeden yapılmış bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 300 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 20 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø40 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 12 mm çaplı dolu bir numune 50 N·m torkla burulmuştur. 200 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 3,52° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 50 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 3,52°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

30 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 2,5 m ve B’den 1,2 m uzaklıktaki C’de 250 N·m tork uygulanıyor. C kesitinin dönme açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 30 mmT₀ = 250 N·ma = 2,5 mb = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

45 kN @ 6 m35 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 10 mP = 70 kN @ 1 mw = 8 kN/m, 0 ile 10 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 30 MPa, basınçta 100 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük pozitif eğilme momenti M_allow değerini bulun.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 160 MPa, σᵧ = −50 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 160 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 250 MPa’dır. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 70 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 19 kNw = 20 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 2069 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 65·1000/314,2 = 206,9 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 206,9/100000 = 0,002069 = 2069 µε

Cevap

ε = 2069 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 8,337 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 110000·1257/300 = 460767 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 20000·460767/879646 = 10476 N

Gerilme

σ₂ = 10476/1257 = 8,337 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 8,337 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: G = 79,96 GPa

Polar atalet momenti ve açı

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 3,52·π/180 = 0,06144 rad

Kayma modülü

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·200/(2036·0,06144) = 79957 MPa

G = 79,96 GPa

Cevap

G = 79,96 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 1,826 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca T_A + T_B = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·1,2/3,7 = 81,08 N·m

T_B = 250·2,5/3,7 = 168,9 N·m

C’nin dönmesi

AC parçasını kullanın: A’da ankastredir ve T_A taşır.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 81081·2500/(80000·79522) = 0,03186 rad = 1,826°

Cevap

φ_C = 1,826°

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 6 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 51,67 kN, R₂ = 28,33 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 103,3, M_C = 136,7, M_D = 170 kN·m, M_E = 113,3, M_F = 56,67, M_G = 0

Cevap

İşaret D: M_D = 170 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 138,1 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 70·1 + 8·10·5

R_B = 470/10 = 47 kN

ΣF_y = 0: R_A = 150 − 47 = 103 kN

V = 0 nerede?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (103 − 70)/8 = 4,125 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 138,1 kN·m

Cevap

M_max = 138,1 kN·m

A’dan x = 4,125 m uzaklıkta oluşur.

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 9,003 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

gövde: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·132,5 + 1920·60)/5420 = 106,8 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 140·25³/12 + 3500·(132,5 − 106,8)² = 2,491 × 10⁶ mm⁴

gövde: 16·120³/12 + 1920·(60 − 106,8)² = 6,512 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,491 × 10⁶ + 6,512 × 10⁶ = 9,003 × 10⁶ mm⁴ = 9,003 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 9,003 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 1,6 kN·m

Ağırlık merkezi

ȳ = (2500·112,5 + 1400·50)/3900 = 90,06 mm

üst kenar: c = 125 − 90,06 = 34,94 mm

Alan atalet momenti

I = 100·25³/12 + 2500·22,44² + 14·100³/12 + 1400·40,06² = 4,802 × 10⁶ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Pozitif moment: üst basınçta, alt çekmededir.

üst kenar: M = 100·4,802 × 10⁶/34,94 = 13,75 kN·m

alt kenar: M = 30·4,802 × 10⁶/90,06 = 1,6 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 1,6 kN·m (alt kenar)

Cevap

M_allow = 1,6 kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 109,2 MPa

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((160 − −50)/2)² + 30²) = 109,2 MPa

Cevap

τ_max = 109,2 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 1,563

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 95 MPa, R = 65 MPa

σ₁ = 160 MPa, σ₂ = 30 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 160 MPa

n = 250/160 = 1,563

Cevap

n = 1,563

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 8,529 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 19000 N, w = 20 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(3EI) = 19000·1500³/(3·3,99 × 10¹²) = 5,357 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 3,172 mm

Toplayın

δ = 5,357 + 3,172 = 8,529 mm

Cevap

δ = 8,529 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·3000⁴/(384·11000·8,333) = 5,753 × 10⁷ mm⁴

I_req = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 57,53 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 73,69 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/2000² = 73693 N = 73,69 kN

Cevap

P_cr = 73,69 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 30,71 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/5 = 150

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Cevap

σ_cr = 30,71 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials